2011　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の交点のうち，原点と異なる点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V_1$と$V_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$V_1$と$V_2$について，$V_1\geqq V_2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．また，$V_1-V_2$を最大にする$a$の値を求めよ．

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ a& 1\end{array}\right)\text{，}R={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 6& -5\end{array}\right)\text{，}Q=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& b\end{array}\right)$

は$AR=QA$を満たしている．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある．そのうち，$A$が逆行列をもたないのは，$a=\boxed{\text{①}}$のときであり，このとき，$b=\boxed{\text{②}}$である．$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは，$a=\boxed{\text{③}}$のときであり，このとき，$A^{-1}=\boxed{(\text{④})}\text{，}b=\boxed{\text{⑤}}$である．

　$n$を$2$以上の自然数として，

$S_n=A+AR+A{R}^2+\cdots +A{R}^{n-1}$

とおく．$AR=QA$であるから，$S_n$は実数$x_n\text{，}{y}_n$を用いて

$S_n=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& 0\\ 0& y_n\end{array}\right)A$

と表される．

　$a=\boxed{\text{③}}$のときは，$x_n=\boxed{\text{⑥}}\text{，}{y}_n=\boxed{\text{⑦}}$である．したがって，$E$を単位行列として，

$E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$

とおくと，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\boxed{\text{⑧}}$である．

$(n+3)a_{n+1}-(2n+4)a_n+(n+1)a_{n-1}=0\text{（}n\geqq 2\text{）}$

を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．$b_n$を$b_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$で表せ．

(2)　$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．

(3)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$a_n$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$a_n$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(a_n)}^n$を求めよ．

${\displaystyle \frac{x+y}{5}}={\displaystyle \frac{y+2z}{4}}={\displaystyle \frac{z+3x}{10}}$

の値が$\boxed{\text{①}}$のときである．