2011 関西大 理系学部2月5日実施

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2011 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部2月5日実施

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【1】  x の関数 f (x) = xx2 +1 がある.

(1)  f( x) の増減を調べて,関数 y= f( x) のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ.ただし,曲線の凹凸は求めなくてよい.

(2)  a a 0 を満たす実数として,座標平面上で a xa +1 かつ 0 yf (x ) で表される領域を D (a ) とする.

(ⅰ)  D( a) の面積を S (a ) とする. S( a) を求めよ.また, S( a) が最大となるときの a の値を求めよ.

(ⅱ)  D( 0) x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.

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2011年関西大理系2月5日実施【2】の図

【2】  O( 0,0, 0) を原点とする座標空間内のある平面上に,正六角形 ABCDEF があり,点 A (3 ,1,t ) B (4 ,2,3 ) C (3 ,4,2 ) である.この正六角形を T とし, T の外接円の中心を M 三角形 BCM の重心を G とする.次の   をうめよ.

(1)  t= であり,線分 AC の中点の座標は M の座標は G の座標は である.

(2)  T の面積は である.

(3)  p q を定数とする.点 H (p ,q,6 ) と点 G を通る直線が T に垂直であるとき, p= q = である.このとき六角 すい H ABCDEF の体積は である.

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【3】  O( 0,0 ) を原点とする座標平面上の 2 (1 ,0) ( 0,1 ) が,行列 M の表す 1 次変換によってそれぞれ点 ( -1,- 3 2) ( 12 , 12 ) に移されるとする.また, n を自然数とする.次の   をうめよ.

(1)  M= であり, M2= M3= である.

(2) 点 (1 ,0) が,行列 M 3n M3 n+1 M3 n+2 の表す 1 次変換によってそれぞれ点 Pn Q n R n に移されるとする.このとき,点 P n の座標は Q n の座標は R n の座標は である.

(3) (2)で求めた 3 P n Q n R n を頂点とする三角形の面積を S n とする. Sn n を用いて と表され, n =1 Sn= である.

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【4】 次の   をうめよ.

(1) 関数 f (x) =sinx -3 cosx+ 1 0x π がある.方程式 f (x )=0 の解は である.また, f( x) の最大値と最小値の差は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  3 けた の自然数全体の集合を U とし, U から要素を 1 つ選ぶ.選んだ要素が 3 の倍数である確率は である.また,選んだ要素の百の位の数を a 十の位の数を b 一の位の数を c とする.このとき, a>b> c である確率は である.また, a b c がすべて異なる確率は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(3) 半径が 2 の円 C があり,その中心を O とする.点 O から 4 だけ離れた点 P から 2 本の接線を引く. 2 つの接点を A A とするとき,線分 AP の長さは であり, 2 本の接線と円 C の短い方の弧 A A とで囲まれる部分の面積は である.また,円 C 上に POB =90° となる点 B をとり,線分 BP と円 C との交点のうち B と異なる点から線分 OP に垂線を下ろす.この垂線と線分 OP との交点を H とするとき, PH= である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  k=1 na k=( n-1) 2 n=1 2 3 で定められる数列 { an} がある. a1 = であり, n2 であるとき, an = である.また, k =18 a k2= である.

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【4】 次の   をうめよ.

(5) 座標平面上において,放物線 y= (x -2) 2 と直線 y =mx が異なる 2 つの共有点 P Q をもつとき,定数 m のとりうる値の範囲は である.さらに, m がこの範囲を動くとき,線分 PQ の中点の軌跡は方程式 で表される曲線の一部であり,それは x 座標が の範囲の部分である.