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2011-14991-0201
2011 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部2月5日実施
個別日程
易□ 並□ 難□
【1】 x の関数 f⁡ (x) = xx2 +1 がある.
(1) f⁡( x) の増減を調べて,関数 y= f⁡( x) のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ.ただし,曲線の凹凸は求めなくてよい.
(2) a を a≧ 0 を満たす実数として,座標平面上で a ≦x≦a +1 かつ 0 ≦y≦f ⁡(x ) で表される領域を D ⁡(a ) とする.
(ⅰ) D⁡( a) の面積を S⁡ (a ) とする. S⁡( a) を求めよ.また, S⁡( a) が最大となるときの a の値を求めよ.
(ⅱ) D⁡( 0) を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
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【2】 O( 0,0, 0) を原点とする座標空間内のある平面上に,正六角形 ABCDEF があり,点 A (3 ,1,t ), 点 B (4 ,2,3 ), 点 C (3 ,4,2 ) である.この正六角形を T とし, T の外接円の中心を M , 三角形 BCM の重心を G とする.次の をうめよ.
(1) t= ① であり,線分 AC の中点の座標は ② , 点 M の座標は ③ , 点 G の座標は ④ である.
(2) T の面積は ⑤ である.
(3) p ,q を定数とする.点 H (p ,q,6 ) と点 G を通る直線が T に垂直であるとき, p= ⑥ ,q = ⑦ である.このとき六角 錐すい H ‐ABCDEF の体積は ⑧ である.
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【3】 O( 0,0 ) を原点とする座標平面上の 2 点 (1 ,0) ,( 0,1 ) が,行列 M の表す 1 次変換によってそれぞれ点 ( -1,- 3 2) ,( 12 , 12 ) に移されるとする.また, n を自然数とする.次の をうめよ.
(1) M= ① であり, M2= ② , M3= ③ である.
(2) 点 (1 ,0) が,行列 M 3⁢n ,M3 ⁢n+1 ,M3 ⁢n+2 の表す 1 次変換によってそれぞれ点 Pn , Q n ,R n に移されるとする.このとき,点 P n の座標は ④ , 点 Q n の座標は ⑤ , 点 R n の座標は ⑥ である.
(3) (2)で求めた 3 点 P n ,Q n ,R n を頂点とする三角形の面積を S n とする. Sn は n を用いて ⑦ と表され, ∑n =1∞ ⁡ Sn= ⑧ である.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 関数 f⁡ (x) =sin⁡x -3⁢ cos⁡x+ 1 ( 0≦x≦ π ) がある.方程式 f ⁡(x )=0 の解は ① である.また, f⁡( x) の最大値と最小値の差は ② である.
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(2) 3 桁けた の自然数全体の集合を U とし, U から要素を 1 つ選ぶ.選んだ要素が 3 の倍数である確率は ③ である.また,選んだ要素の百の位の数を a , 十の位の数を b , 一の位の数を c とする.このとき, a>b> c である確率は ④ である.また, a ,b , c がすべて異なる確率は ⑤ である.
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(3) 半径が 2 の円 C があり,その中心を O とする.点 O から 4 だけ離れた点 P から 2 本の接線を引く. 2 つの接点を A , A ′ とするとき,線分 AP の長さは ⑥ であり, 2 本の接線と円 C の短い方の弧 A A′ とで囲まれる部分の面積は ⑦ である.また,円 C 上に ∠POB =90° となる点 B をとり,線分 BP と円 C との交点のうち B と異なる点から線分 OP に垂線を下ろす.この垂線と線分 OP との交点を H とするとき, PH= ⑧ である.
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(4) ∑ k=1 n⁡a k=( n-1) 2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) で定められる数列 { an} がある. a1 = ⑨ であり, n≧2 であるとき, an = ⑩ である.また, ∑k =18 ⁡a k2= ⑪ である.
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(5) 座標平面上において,放物線 y= (x -2) 2 と直線 y =m⁢x が異なる 2 つの共有点 P , Q をもつとき,定数 m のとりうる値の範囲は ⑫ である.さらに, m がこの範囲を動くとき,線分 PQ の中点の軌跡は方程式 ⑬ で表される曲線の一部であり,それは x 座標が ⑭ の範囲の部分である.