2011　関西大　文系学部2月1日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$より，

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{①}}}+\sqrt{\boxed{\text{②}}}}{4}}$

である．ただし，$\boxed{\text{①}}$と$\boxed{\text{②}}$は整数であり，$\boxed{\text{①}}<\boxed{\text{②}}$とする．

(2)　$0<\theta <\pi$かつ

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{①}}}-\sqrt{\boxed{\text{②}}}}{4}}$

であるとき，$\theta =\boxed{\text{③}}$である．

(3)　適当な整数$a\text{，}b$に対し，$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$は$4$次方程式

$a{x}^4+b{x}^2+1=0$

の解となる．このとき，$a=\boxed{\text{④}}\text{，}b=\boxed{\text{⑤}}$である．

【２】　$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x-2$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を調べ，グラフにかけ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,f(a))$における接線と，点$(a+2,f(a+2))$における接線が，平行であるような$a$の値を求めよ．また，このときの点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

【３】　$f(x)=2x+3+|x|$と$g(x)=a{x}^2+bx+c$とは次の$2$つの条件を満たす．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとは$x=-2$および$x=2$で交わる．

(ⅱ)　$y=g(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$において最大値をとる．

　このとき，次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　$a=\boxed{\text{①}}\text{，}b=\boxed{\text{②}}\text{，}c=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　$y=g(x)$のグラフの頂点の$y$座標は$\boxed{\text{④}}$である．

(3)　$y=f(x)$と$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{⑤}}$である．