2011　関西大　文系学部2月6日実施MathJax

【１】　$4$つの数$x\text{，}2x-5\text{，}y\text{，}z$がこの順で等差数列になっている．次の問いに答えよ．

(1)　$y$および$z$をそれぞれ$x$を用いて表せ．

(2)　$x$を$0$でない数とする．$x\text{，}y\text{，}z$がこの順で等比数列になっているとき，$x$の値をすべて求めよ．

【２】次の$\boxed{}$をうめよ．

　$k$を定数とする．方程式$x^2+kx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{k}^2+k-4=0$の解がすべて正の整数であるための$k$の条件を求める．$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とすれば，$\alpha +\beta \text{，}\alpha \beta$は$k$を用いて$\alpha +\beta =\boxed{\text{①}}\text{，}\alpha \beta =\boxed{\text{②}}$と表される．これから$k$を消去して整理すれば，${(\alpha -\boxed{\text{③}})}^2+{(\beta -\boxed{\text{③}})}^2=\boxed{\text{④}}$となる．したがって，$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha \leqq \beta \text{）}$が整数になるのは，${(\alpha -\boxed{\text{③}})}^2=\boxed{\text{⑤}}\text{，}{(\beta -\boxed{\text{③}})}^2=\boxed{\text{⑥}}$のときである．よって，$\alpha =\boxed{\text{⑦}}\text{，}\beta =\boxed{\text{⑧}}$である．したがって，$k=\boxed{\text{⑨}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　放物線$y=x^2$上の点$(p,p^2)$における接線の方程式は$\boxed{\text{①}}$である．$p>0\text{，}q<0$のとき$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(p,p^2)$における接線と$y=x^2$上の点$\mathrm{Q}(q,q^2)$における接線の交点を$\mathrm{R}$とし，$\angle \mathrm{PRQ}$を$\theta$とすると$p\text{，}q$を用いて点$\mathrm{R}$の座標は$(\boxed{\text{②}},\boxed{\text{③}})\text{，}\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1+\boxed{\text{④}}}{\sqrt{(1+4p^2)(1+\boxed{\text{⑤}})}}}$と表される．このとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$は$p\text{，}q$を用いて$S=\boxed{\text{⑥}}$と表される．