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2011-14991-1001
2011 関西大学 全学部日程・センター中期
社会安全・システム理工・環境都市工
・化学生命工学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f⁡ (x) =e-x ⁢| sin⁡x+ cos⁡x | がある. n を 0 以上の整数とし,曲線 y =f⁡( x) ,x 軸および 2 直線 x =2⁢n ⁢π ,x= (2⁢ n+1) ⁢π によって囲まれる図形の面積を S n とおく.次の問いに答えよ.
(1) -π 4≦x ≦ 7⁢π 4 の範囲で, y=f⁡ (x ) のグラフを解答用紙の ① の欄にかけ.ただし,グラフは関数 f ⁡(x ) の極値と増減がわかるようにかくこと.
(2) S0 の値を求めよ.
(3) limn→ ∞⁡ log ⁡Sn n を求めよ.
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【2】 p は定数で, 0<p≦ 1 とする.数列 { an } は,すべての n について 0 ≦an ≦π 2 を満たし,さらに,関係式
a1= π6 ,cos⁡ an+ 1=sin ⁡(p ⁢an +π 3⁢ (1 -p) ) ,( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
が成り立つとする.次の をうめよ.
(1) p=1 のとき, a49= ① ,a50 = ② となる.
(2) 0<p≦ 1 のとき,数列 { an} は,漸化式 an+1 = ③ ⋅ an+ ④ を満たし,一般項は an= π6 ⁢ ⑤ p+ 1 と表される.ただし, ③ と ④ は n を含まない p の式で答えること.
(3) 0<p< 1 のとき,数列 { an} は収束して, limn→ ∞⁡ an= β となる.このとき, β は p を用いて β =π 6⁢ ⑥ p+1 と表される.さらに, limN →∞ ⁡ ∑ n=1 N⁡ (an -β) = ⑥ 6⁢ ( p+1) 2 が成り立つ.
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【3】 xy 平面上に直線 l: y=m⁢ x と円 C :x2 +y2 -4⁢x -4⁢y +6=0 がある.次の問いに答えよ.
(1) 円 C の中心の座標と半径を求めよ.
(2) 直線 l が円 C と異なる 2 点で交わるような定数 m の値の範囲を求めよ.
(3) 直線 l が円 C によって切り取られる線分の長さが 2 であるとき, m の値を求めよ.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 1 以上 999 以下の整数のうち, 4 の倍数であるか,または 6 の倍数である整数の個数は ① である.
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(2) 0<θ< π2 とする.このとき,級数 ∑ n=1 ∞⁡ cosn⁡ θsin n⁡θ が収束するのは, θ の範囲が ② のときである.その級数の和を tan ⁡θ を用いて表すと, ③ である.
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(3) 行列 A= ( a1 1- a) について, A10 の (2 ,2) 成分は ④ である.
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(4) a→ , b→ , c→ は xy 平面上のベクトルで, a→= (1, 0) , b →= (-1 ,3 ), | c→ |= 1 とする. c→ は a → と鈍角をなし,この角と b→ , c→ のなす角とが等しいとき, c→ の成分は ⑤ である.
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(5) ( xlog2 ⁡x ) log2⁡ x=64 ⁢x6 ⁢log2 ⁡x-11 を満たす x は ⑥ である.
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(6) 実数 x , y が 2⁢ x2+ y2= 8 を満たすとき, x2+ y2- 6⁢x の最大値は ⑦ である.