2011　関西大　センター中期　理系学部2月8日実施MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{（}a\ne 0\text{）}$による座標平面上の$1$次変換を$f$とする．$f$により，放物線$y=x^2$が放物線$C_1:y=x(x-1)$全体に移される．次の問いに答えよ．

(1)　点$(t,t^2)$の$f$による像を考えることにより，$A$を$a$を用いて表せ．

(2)　$f$を$2$回合成した$1$次変換$f\circ f$により，$y=x^2$が放物線$C_2:y=x(x-3)$全体に移される．このとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値のときの$1$次変換$f$を考える．$f$を$n$回合成した$1$次変換$\underset{\underset{n\text{個}}{⏟}}{f\circ \cdots \circ f}$により，$y=x^2$は放物線$C_n:y=x(x-a_n)$全体に移される．必要なら$C_n$と$C_{n+1}$の関係を考えることにより，$a_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 0& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ a& 0\\ 1& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$を満たす定数$a\text{，}b$は，$a=\boxed{\text{①}}\text{，}b=\boxed{\text{②}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　行列$\left(\begin{array}{cc}3& a\\ a+1& 4\end{array}\right)$が逆行列をもたないとき，$a=\boxed{\text{③}}$である．　

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　行列$X=\left(\begin{array}{cc}a& -2\\ b& c\end{array}\right)$は，$X^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right)$を満たす．$X$は$\boxed{(\text{④})}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　座標平面上の点$(2,1)$が原点のまわりの回転移動によって点$(a,a)$に移動するとする．ここで，$a>0$とする．このとき，$a$の値と，回転移動を表す行列$A$を求めると，

$a=\boxed{\text{⑤}}\text{，}A={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}\cdot \boxed{(\text{⑥})}$

である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$A=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$のとき，$A^3-6A^2+2A+E$を求めると$\boxed{(\text{⑦})}$である．ただし，$E$は単位行列である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　$A\text{，}B$を$2$次の正方行列とする．$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)\text{，}A-B=\left(\begin{array}{cc}-1& 5\\ 2& -2\end{array}\right)$のとき，

$A^2-B^2=\boxed{(\text{⑧})}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　関数$f(x)=x{e}^{-{(x-2)}^2}$について，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値は，$x=\boxed{\text{①}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$は実数の定数とする．分数関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-a)(x-b)}}$は，$x=\boxed{\text{②}}$で極値をとる．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$\underset{x\to \frac{1}{4}}{\lim }{\displaystyle \frac{\tan \pi x-1}{4x-1}}=\boxed{\text{③}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　関数$y=\sqrt{x}\log x$の最小値は$\boxed{\text{④}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{1-7x}}$の第$n$次導関数は，$y^{(n)}=\boxed{\text{⑤}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　$a$を定数とする．関数$y=e^{2x}\sin ax$が$y^{″}-4y^{\prime }+6y=0$を満たすとき，$a=\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{6}}}{\displaystyle \frac{1}{2+x^2}}dx$の値は，$\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{x^2}{1+x^3}}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}\log 3$を満たす正の定数$c$の値は，$c=\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{e^x+2e^{-x}+3}}dx$の値は$\log (\boxed{\text{③}})$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_2^3}{(1-x)}^{-2}\log xdx$の値は$\log \boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|\sin t|dt-{\displaystyle {\int }_x^{\frac{7\pi }{2}}}|\sin t|dt(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{7\pi }{2}})$とおく．$f(x)=0$となる$x$は$\boxed{\text{⑤}}$である．