2011　関西大　後期　文系学部3月3日実施MathJax

【１】　$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$を満たす実数とし，座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2\cos \theta ,0,2)\text{，}\mathrm{B}(-1,\sin \theta ,\sqrt{3}\sin \theta )$をとる．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるのは$\theta =\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$のときである．ただし，$\boxed{\text{①}}<\boxed{\text{②}}$とする．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$間の距離を$l$とすると，$l=\sqrt{a\sin \theta +b\cos \theta +c}$となるような定数$a\text{，}b\text{，}c$が存在する．このとき，$a=\boxed{\text{③}}\text{，}b=\boxed{\text{④}}\text{，}c=\boxed{\text{⑤}}$である．よって，$l$は$\theta =\boxed{\text{⑥}}$のとき最小値$\boxed{\text{⑦}}$をとる．

【２】　$n$を正の整数とし，次の$2$次方程式を考える．

$x^2+(n-17)x+n=0\cdots$(A)

　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$以外の$\boxed{}$には数値が入る．

　方程式(A)が実数解$\alpha \text{，}\beta$を持つとする．$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$を$n$用いて表すと，

$\alpha +\beta =\boxed{\text{①}}\text{，}\alpha \beta =\boxed{\text{②}}\cdots$(B)

となる．(B)を用いることにより，

$(\alpha +1)(\beta +1)=\boxed{\text{③}}$

が成り立つことがわかる．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$がともに正の整数であるとする．このときの$n$の値は$\boxed{\text{④}}$または$\boxed{\text{⑤}}$である．ただし，$\boxed{\text{④}}\leqq \boxed{\text{⑤}}$とする．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は$ad-bc\ne 0\text{，}c\ne 0$を満たす定数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$について，次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{④}}$までは$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いた式が入る．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{a}{c}}+{\displaystyle \frac{p}{x+q}}$と変形するとき，$p=\boxed{\text{①}}\text{，}q=\boxed{\text{②}}$と表される．

(2)　$f(\alpha )=\alpha$を満たす実数$\alpha$がただ一つ存在するための条件は$\boxed{\text{③}}$であり，そのとき$\alpha =\boxed{\text{④}}$である．

(3)　$\alpha =1\text{，}ad-bc=1\text{，}d=2$のとき，(2)の条件を満たす定数$(a,b,c)$の組は$\boxed{\text{⑤}}$と$\boxed{\text{⑥}}$である．