2011　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　関数$f(x)={(\log |x|)}^2$に対して，次の$\boxed{}$をうめよ．

　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$\boxed{\text{①}}$であり，第$2$次導関数$f^{″}(x)$は$\boxed{\text{②}}$である．これより$x=\boxed{\text{③}}$のとき$f(x)$は極値をとり，曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は$x=\boxed{\text{④}}$であることがわかる．したがって，$y=f(x)$のグラフの概形は$\boxed{\text{⑤}}$である．

　$x>0$において，$f(x)$の極値を与える$x$の値を$a$とし，変曲点の$x$座標を$b$とする．このとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=b$とで囲まれる図形の面積を求めると$\boxed{\text{⑥}}$である．

　また，曲線$y=f(x)\text{（}a\leqq x\leqq b\text{）}$と$y$軸および$2$直線$y=f(a)\text{，}y=f(b)$とで囲まれる図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【２】次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}& -\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\\ \sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}& \cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\end{array}\right)$

とする．このとき，

$A^2=\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}\pi }{5}}& -\sin {\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}\pi }{5}}\\ \sin {\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}\pi }{5}}& \cos {\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}\pi }{5}}\end{array}\right)$

と表すことができる．ここで，$B=A+A^2+A^3+A^4$とおく．$(A-E)B$を計算し，$A-E$が逆行列をもつことと，$A^5$が単位行列$E$に等しいことを用いると，

$B=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{②}}& 0\\ 0& \boxed{\text{②}}\end{array}\right)$

と表されることがわかる．行列$B$で表される$1$次変換を$f$とする．座標平面上の点$(1,0)$の$f$による像の$x$座標を求めることにより，

${\displaystyle \sum _{k=1}^4}\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{5}}=\boxed{\text{③}}\cdots$(1)

が成り立つことがわかる．(1)式を用いて計算すると，

$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}=\boxed{\text{③}}\cdots$(2)

および

$\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}+\cos {\displaystyle \frac{8\pi }{5}}=\boxed{\text{④}}\cdots$(3)

となる．ここで，$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=\alpha$とおき，(2)式の左辺を$\alpha$を用いて表すことにより，$\alpha$は$2$次方程式

$\boxed{\text{⑤}}{x}^2+\boxed{\text{⑥}}x-1=\cdots$(4)

の解であることがわかる．同様に，$\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}=\beta$とおき，(3)式の左辺を$\beta$を用いて表すことにより，$\beta$も同じ$2$次方程式(4)の解であることがわかる．したがって，

$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=\boxed{\text{⑦}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}=\boxed{\text{⑧}}$

である．

【３】　$x^2+y^2=25$で表される円を$C_1$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　円$C_1$に内接する正方形を考え，その正方形に内接する円を$C_2$とする．さらに，円$C_2$に内接する正方形を考え，その正方形に内接する円を$C_3$とする．$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$と表す．このとき，$S_2=\boxed{\text{①}}\text{，}{S}_3=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　(1)の操作を繰り返し，円$C_4\text{，}{C}_5\text{，}{C}_6\text{，}\cdots$を定める．$C_n$の半径を$r_n$とするとき，$r_n$を$r_{n-1}$を用いて表すと，$r_n=\boxed{\text{③}}$となる．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について円$C_n$の面積を$S_n$とし，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n=S_1+S_2+S_3+\cdots S_n+\cdots$を求めたい．$\{S_n\}$は，初項$\boxed{\text{④}}\text{，}$公比$\boxed{\text{⑤}}$の等比数列であるので，この数列の初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{⑥}}$である．よって，

$S_1+S_2+S_3+\cdots +S_n+\cdots =\underset{n\to \infty }{\lim }\boxed{\text{⑥}}=\boxed{\text{⑦}}$

となる．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{a}=(1,1,2)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,1,3)\text{，}\overrightarrow{c}=(0,3,1)$とする．$\overrightarrow{p}=(1,2,4)$を$s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$と表すとき，$s\text{，}t\text{，}u$の値は，$s=\boxed{\text{①}}\text{，}t=\boxed{\text{②}}\text{，}u=\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　半径$r$の球面${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=r^2$が$yz$平面と共有点をもち，かつ$xy$平面と共通点をもたないような$r$の値の範囲は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$であるとき，${\displaystyle \frac{1-\sin x}{\sin x+2}}$の最大値は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　方程式$2\log (4x)+\log (2x)-\log x-2=0$の解は$\boxed{\text{⑥}}$である．ただし，対数は自然対数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{LM}$と線分$\mathrm{ON}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{⑦}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{⑧}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と表される．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　

$a_1=1\cdot 1\text{，}$

$a_2=1\cdot 2+2\cdot 1\text{，}$

$a_3=1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 1\text{，}$

$a_4=1\cdot 4+2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 1\text{，}$

$a_n=1\cdot n+2\cdot (n-1)+3\cdot (n-2)+\cdots +(n-1)\cdot 2+n\cdot 1\text{（}n=5\text{，}6\text{，}7\text{，}\cdots \text{）}$

とする．このとき，漸化式

$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}=b_n+{\displaystyle \frac{a_n}{n+2}}$

で定められる数列$\{b_n\}$の一般項は，$b_n=\boxed{\text{⑨}}$である．