2011　関西学院大　理工全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　条件$a_1=-{\displaystyle \frac{5}{6}}\text{，}6a_{n+1}-3a_n+4=0$によって定められる数列$\{a_n\}$について考える．この漸化式は$a_{n+1}+\boxed{\text{ア}}=\boxed{\text{イ}}(a_n+\boxed{\text{ア}})$と変形できる．したがって，一般項は$a_n=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　方程式$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=-24$について，$X=x^2-x$とおくと，$X$の$2$次方程式$\boxed{\text{エ}}=0$を得る．その解は$X=\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$（ただし，$\boxed{\text{オ}}<\boxed{\text{カ}}$）である．元の方程式の最大の解は$x=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$があり，それぞれに$4$個のボールが入っている．各箱のボールには，$1$から$4$までの番号がつけられている．箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$からボールを$1$個ずつ取り出し，出た数をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とする．$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の最大の数が$3$以下である場合は$\boxed{\text{ク}}$通りあり，最大の数が$4$である場合は$\boxed{\text{ケ}}$通りである．また，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$について，$a+b+c+d=15$となる場合は$\boxed{\text{コ}}$通りある．

【２】　座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,0,0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$C$の$y\geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},1,1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，${\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|}^2=m-n\sin (t+\alpha )$となるような定数$m\text{，}n\text{，}\alpha (\text{ただし，}0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．

(4)　$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．

【３】　実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$と表す．例えば，$[1]=1\text{，}\left[{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]=2$である．正の整数$n$に対して$a_n=[{\displaystyle \frac{2}{3}}n]$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$から$a_6$までの$6$つの項を求めよ．

(2)　正の整数$m$に対して${\displaystyle \sum _{k=3m-2}^{3m}}{a}_k$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{3n}}{a}_k$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{3n}}k{a}_k$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^{-2}\log x\text{（}x>0\text{）}$について次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$(p,f(p))$における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線$l$の方程式を求めよ．

(4)　$m\ne -1$に対して，不定積分${\displaystyle \int }{x}^m\log xdx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)\text{，}$直線$l\text{，}$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．