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2011-15113-0301
2011 関西学院大学 文系学部全学日程
2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 四面体 OABC は, ∠AOB=∠ BOC=∠COA =90° ,OA =3 ,OB= 3 ,OC=3 ⁢3 である.辺 AB , CA の長さは AB = ア , CA= イ である.また, cos⁡∠ CAB= ウ であり, sin⁡∠ CAB= エ である.よって, ▵ABC の面積は オ である.
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(2) a+b= 12 を満たすような自然数 a , b の組 (a ,b) は カ 組ある.また, p+2⁢ q=12 を満たすような自然数 p , q の組 ( p,q ) は キ 個あり,そのうち p >q である組の個数は ク 個である.さらに, c+d+ e=12 を満たすような自然数 c , d ,e の組 ( c,d, e) は ケ 個あり,そのうち c >d ,c> e である組の個数は コ 個である.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) f⁡( x)= a⁢x2 +b⁢x +c とする.すべての実数 a , b ,c に対して
∫ -11 ⁡f ⁡(x )⁢d x= 12⁢ f⁡ (u) +k⁢f ⁡(v )⋯ ①
が成り立つように実数 u , k と正の実数 v を定めたい. f⁡( x)= a⁢x2 +b⁢ x+c であるから,定積分を計算すると ∫- 11 ⁡f⁡( x)⁢ dx= ア である.よって, ① が a =b=0 , c=1 のとき成り立つことから k = イ が得られる.同様に, ① が a =c=0 , b=1 のときに成り立つこと,および ① が a =1 ,b= c=0 のときに成り立つことも使うと, u= ウ , v= エ が得られる.
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(2) 座標平面上の 4 点 A (1 ,2) ,B (- 2,-1 ), C( 3,1) ,P (x ,y) が AP→+ 2⁢BP →+3 ⁢CP→ =0→ を満たすとき, x= オ , y= カ である.また, cos⁡∠ APB= キ である.直線 AP と線分 BC の交点を Q とすると,点 Q は線分 BC を 1 : ク の比に内分する.また,点 P は線分 AQ を 1 : ケ の比に内分する.
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【3】 関数 f⁡ (x) =2⁢x 3-3⁢ x2- 12⁢x ( -2≦x ≦4 ) について次の問いに答えよ.
(1) -2≦x ≦4 における f⁡ (x ) の増減表をかき,その範囲において f ⁡(x ) が最大値,最小値をとる x の値と最大値,最小値を求めよ.
(2) 方程式 f⁡ (x) =a が相異なる 3 個の実数解をもち,それらの解がすべて -2 以上, 4 以下であるとする.実数 a の値の範囲を求めよ.
(3) -2≦b ≦4 とする. xy 平面において,曲線 y= f⁡( x) (-2 ≦x≦4 ) 上の点 ( b,f⁡ (b) ) におけるこの曲線の接線が点 ( 0, 14 ) を通るとする. b の値を求めよ.