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2011-15113-0501
2011 関西学院大学 教育(理系),理工学部個別日程
2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 関数 y= log2⁡ ( x2 +3 ) のグラフは,関数 y= log2⁡ x のグラフを x 軸方向に ア , y 軸方向に イ だけ平行移動したものである.これら 2 つのグラフについて,共有点の x 座標は ウ である.
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(2) a=7 +3 ,b= 7-3 のとき c= ab とおくと,
c+ 1c= エ , c- 1c= オ ,c2 + 1c2 = カ , c3+ 1 c3 = キ
である.
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(3) A ,A , B ,B , B ,C , C ,C , C の 9 個の文字全部を使って作ることができる順列の総数は ク 通りである.そのうち, B 3 個が連続している順列は ケ 通りであり, A 2 個が隣り合わない順列は コ 通りである.
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【2】 四面体 OABC において, OA=OB= 1 , ∠AOB =∠BOC= ∠COA= π 3 とする.三角形 OAC の重心を G , 辺 BC を 2 :1 に内分する点を P , 辺 OC の中点を Q とし, 2 直線 OP , BQ の交点を R とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とするとき,次の各問いに答えよ.
(1) OG→ を a → , c→ を用いて表せ.また, OR→ を b → , c→ を用いて表せ.
(2) OC の長さを x とする.このとき, | c→ | 2 , b→ ⋅c → , c→ ⋅a→ を x を用いて表せ.
(3) BG→ と AR → が垂直であるとする.このとき, x の値を求めよ.
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【3】 次の問いに答えよ.
(1) 条件 1≦ a≦b≦ 2 ,1≦a <c≦2 を満たす正の整数の組 (a ,b,c ) をすべて求めよ.
(2) 条件 1≦ a≦b≦ 3 ,1≦ a<c≦ 4 を満たす正の整数の組 (a ,b,c ) のうち, a=1 のもの, a=2 のもの, a=3 のものの個数をそれぞれ求めよ.
(3) m を正の整数とする.条件 1≦ a≦b≦ m+1 ,1≦ a<c≦ 2⁢m を満たす正の整数の組 ( a,b, c) の個数 M ⁡(m ) を求めよ.また, limm →∞ ⁡ M ⁡(m )m 3 を求めよ.
(4) M⁡( m) が 67 の倍数になるような最小の正の整数 m を求めよ.
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【4】 次の問いに答えよ.
(1) 方程式 cos ⁡x=cos ⁡ 3 4⁢ π の解を π ≦x≦ 3 2⁢ π の範囲で求めよ.
(2) π 2≦ θ<π を満たす定数 θ に対して,方程式 cos ⁡x=cos ⁡θ の 0 ≦x≦ 3 2⁢ π における 2 つの解を θ で表せ.
(3) 上の(2)で求めた解のうち大きい方を α とするとき,定積分 S = ∫0α ⁡ |cos ⁡x-cos ⁡θ |⁢ dx を θ の式で表せ.
(4) θ が π2 ≦θ≦ π の範囲で変化するときの S の最小値およびそのときの θ の値を求めよ.