2011　関西学院大　文系関学独自2月5日MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}p$を実数とし，$a\ne 0$とする．$x$の$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$が$x=5$で最大値$50$をとり，$2$次不等式$f(x)\geqq 0$の解が$p\leqq x\leqq 10$であるとする．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$となる．したがって$p=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$n\geqq 3$とする．$1$から$n$までの番号のついた$n$個の玉を，$3$個の箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に分けて入れる．玉が$1$個も入っていない箱があってもよいことにすると，分け方は$\boxed{\text{オ}}$通りある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のそれぞれには$1$個以上の玉が入り，$\mathrm{C}$には玉が入っていない分け方は$\boxed{\text{カ}}$通りある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の中のいずれか$2$個の箱には$1$個以上の玉が入り，残りの$1$箱には玉が入っていない分け方は$\boxed{\text{キ}}$通りある．したがって，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれの箱にも$1$個以上の玉が入っている分け方は$\boxed{\text{ク}}$通りある．また，$n=5$のとき，$\mathrm{A}$には$2$個以上の玉が入り，それ以外の箱には$1$個以上の玉が入っている分け方は$\boxed{\text{ケ}}$通りある．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\cos 2\theta$を$\cos \theta$の式で表すと

$\cos 2\theta =\boxed{\text{ア}}\cdots \text{①}$

である．また，$\cos 3\theta =\cos (2\theta +\theta )$と考え，$\text{①}$を用いると，$\cos 3\theta$も$\cos \theta$の式で表すことができて

$\cos 3\theta =\boxed{\text{イ}}\cdots \text{②}$

となる．$f(\theta )=\cos 3\theta +\cos 2\theta +\cos \theta$とする．$\text{①}\text{，}\text{②}$を利用すると，$\theta$の方程式$f(\theta )=0$の$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における解は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\theta$の不等式$f(\theta )>0$の${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi$の範囲における解は$\boxed{\text{エ}}<\theta <\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　実数$x$に対して和

$S_n=1+2x+3x^2+\cdots +n{x}^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．$x=1$のとき，$S_n$を求めると$S_n=\boxed{\text{カ}}$である．$x\ne 1$のとき，$(1-x)S_n$を求めると$(1-x)S_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{1-x}}$であるので，$S_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{{(1-x)}^2}}$である．$x=-1$のとき，$S_n=5$となる$n$は$\boxed{\text{ク}}$であり，$S_n=-25$となる$n$は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$x=2$であるとき，$S_n>300$となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$m$を正の実数とする．$xy$平面において$y=|2x(x-2)|$で表される曲線を$C\text{，}y=mx$で表される直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$l$の共有点が$3$個であるような$m$の値の範囲を求めよ．

(2)　$m$が(1)で求めた範囲にあるとき，$C$と$l$で囲まれる部分の面積$S$を$m$の式で表せ．

(3)　$m$が(1)で求めた範囲で変化するとき，$C$と$l$で囲まれる部分の面積$S$の増減表をかいて，$S$を最小にする$m$の値を求めよ．