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2011-15113-0801
2011 関西学院大学 理系関学独自方式
2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) x が 0≦ x<2⁢ π および cos⁡ 2⁢x+ cos⁡x≦ 0 を満たすとする.このとき, cos⁡x の範囲は
ア ≦cos⁡ x≦ イ
であるから, x の範囲は
ウ ≦x≦ エ
である.
2011-15113-0802
(2) 平面上に三角形 OAB があり, OA→ =a→ , OB→ =b→ とする. | a→ +b→ | =19 , | a→ -b→ | =7 であるとき, a→ ⋅b →= オ , | a→ | 2+ | b→ | 2= カ である.さらに | a→ |+ |b → |=5 であるとき,三角形 OAB の面積は キ である.
2011-15113-0803
(3) 分数式 F= 5 ⁢x2 +2⁢x ⁢y-3 ⁢y2 x3 +y3 ,G= ( x2- y2) ⁢(x 2-2⁢ x⁢y+ y2) (x 3-3⁢ x2⁢ y+3⁢x ⁢y2- y3) ⁢(3 ⁢x2+ 10⁢x⁢y +7⁢y 2) をそれぞれ約分すると
F= ク , G= ケ
となる.また, H= x+1 x+2 + x+2 x+3 - 2⁢( x+3) x+4 について
H= コ (x +2) ⁢(x +3) ⁢(x +4)
が成り立つ.
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【2】 t は t> -1 を満たす定数とする. xy 平面上の円 C を
C:x2 +( y-t) 2= (t +1) 22
とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 円 C が点 ( 2,1 ) を通るような t の値を求めよ.
(2) 円 C が点 (4 ,3) を通るような t の値を求めよ.
(3) 下の条件(*)を満たす点 (x ,y) 全体からなる領域 D を図示せよ.
(*) C が (x ,y) を通るような t が 2 個存在する.
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【3】 正の整数 n に対して, 15⁢x n+1 を 5 ⁢x-2 で割ったときの商を qn⁡ (x ), 余りを r n とするとき,次の問いに答えよ.
(1) q1⁡ (x) ,r1 , q2⁡ (x) ,r2 を求めよ.
(2) rn を求めよ.また S n= ∑ k=1n ⁡r k を求めよ.
(3) S=lim n→∞ ⁡S n を求めよ.
(4) S-Sn <10 -3 となる最小の整数 n を求めよ.ただし log10⁡ 2=0.301 を用いてよい.
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【4】 関数 f⁡ (x) =x⁢e -x2 2 について次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の増減を調べ,極値を求めよ.また曲線 y= f⁡( x) の凹凸を調べ,変曲点を求めよ.
(2) 不定積分 ∫⁡ f⁡( x)⁢ dx を求めよ.
(3) 極限値 lim a→∞ ⁡ ∫0 a⁡f ⁡(x )⁢d x を求めよ.