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2011-16026-0201
2011 西南学院大学 文学部A日程
2月7日実施
2と合わせて30点
易□ 並□ 難□
【1】
1 実数 p , q が p+ q=6 , p-q= 5 を満たすとき,
p2+ q2= アイ ウ , p⁢q= 1 エ
である.
また, p の整数部分を a , 小数部分を b とすると,
a= オ ,( b+ 52 ) -1 = 5+ カ - キク 5
2011-16026-0202
1と合わせて30点
2 実数 x に対し,全体集合を U ={x | 0≦x≦ 9} とする. U の部分集合 A , B に対して,
A∩ B={ x| 2≦x≦ 3} ,
A‾ ∩B ={x | 3<x≦ 8} ,
A‾ ∩B ‾= {x | 8<x≦ 9} ,
であるとき,
A= {x | ケ ≦x≦ コ } ,
B= {x | サ ≦x≦ シ } ,
A∩ B‾ ‾= {x | ス ≦x≦ セ } ,
2011-16026-0203
【2】
1 θ の方程式について,以下の問に答えよ.
(1) k は実数とし, 0≦θ< 2⁢π とする. cos2 ⁡θ-2 ⁢sin⁡θ =k を満たす θ が存在するとき, - ソ≦k ≦タ である.
(2) 0≦θ≦ π とする. sin⁡θ +sin⁡3 ⁢θ=cos ⁡θ+ cos⁡3⁢ θ の解は, θ の小さい順に θ = チ ツ ⁢ π , テ ト ⁢π , ナ ニ ⁢ π である.
2011-16026-0204
2 n は自然数とする. x の 1 次関数 f n⁡( x)= an⁢ x+bn が次の関係式
f1⁡ (x) =-⁢ 32⁢ x+ 53
x⁢f n+1 ⁡(x )= 153 ⁢ x2+ 7⁢x+ ∫ 0x⁡ fn⁡ (t) ⁢dt
を満たすとき,以下の問に答えよ.
(1) f2⁡ (x) =ヌ ⁢ x+ ネノ ハ である.
(2) 数列 { an } および { bn } は,漸化式 an+1 = 1ヒ ⁢ a n+ フヘ ホ ,b n+1 =bn +マ を満たす.
(3) 一般に f n⁡( x) は f n⁡( x)= {-9 ⁢( 1 ミ ) n-1 + ムメ モ } ⁢x+ ヤ ⁢n - ユヨ 3 である.
2011-16026-0205
40点
【3】 n は 3 以上の整数とする.周の長さが等しい正 n 角形と円では,どちらの面積が大きいかを調べたい.以下の問に答えよ.
(1) n=4 の場合を考える.すなわち周の長さが等しい正方形と円では,どちらの面積が大きいかを調べよ.
(2) 点 O を中心とし,半径 R の円を考える.この円周上に二つの点 A ,B をとり, ∠AOB= 2 ⁢πn とする.点 A における円の接線と点 B における円の接線の交点を P とするとき,三角形 OAP の面積と三角形 OBP の面積の和を R と n を用いて表せ.また扇形 OAB ( 中心角∠ AOB= 2⁢π n ) の面積を R と n を用いて表せ.
(3) (2)の結果を用いて tan ⁡ π n> π n を示せ.
(4) 周の長さが等しい正 n 角形と円では,どちらの面積が大きいか調べよ.