2011　西南学院大学　法,人間科A日程MathJax

【１】

1　$a$は実数の定数とする．

$y=-{(x^2+2x)}^2+2a(x^2+2x)-a^2+4$

のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$t=x^2+2x$とすると，$t$の取り得る値の範囲は$t\geqq \boxed{\text{アイ}}$である．

(2)　$a=1$の場合を考えると，$y$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$で，そのときの$x$の値は$-\boxed{\text{エ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．

(3)　$y$の最大値は，$a\geqq -1$のとき$\boxed{\text{カ}}$であり，$a<-1$のとき$-\boxed{\text{キ}}{a}^2-\boxed{\text{ク}}a+\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】

2　$a\text{，}x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位とする．(1)〜(5)の空欄にあてはまる言葉を，次の1〜4から選べ．

1　必要条件であるが，十分条件ではない．

2　十分条件であるが，必要条件ではない．

3　必要十分条件である．

4　必要条件でも十分条件でもない．

(1)　$x+yi=0$であることは，$x=0\text{，}y=0$であるための$\boxed{\text{コ}}$

(2)　$x<y$であることは，$x^2<y^2$であるための$\boxed{\text{サ}}$

(3)　$x^2=2$であることは，$x=\sqrt{2}$であるための$\boxed{\text{シ}}$

(4)　$ax>ay$であることは，$x>y$であるための$\boxed{\text{ス}}$

(5)　$x\geqq 1\text{，}y\geqq 1$であることは，$x+y\geqq 2\text{，}xy\geqq 1$であるための$\boxed{\text{セ}}$

【２】

1　$k$と$a$は実数で，$a$は正とする．$2$つの直線

$l:(2k+3)x+y+a=0$

$m:3x+(k+2)y=0$

について，以下の問に答えよ．

(1)　$l$と$m$が直交するとき，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(2)　$l$と$m$が平行であり，$l$上の任意の点から$m$までの距離が$2$であるとすると，

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$のとき$a=\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$，

または，

$k=\boxed{\text{ネノ}}$のとき$a=\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒフ}}}$である．

【２】

2　以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$は実数，$i$は虚数単位とする．$x$の方程式$x^3+a{x}^2+x+b=0$の解の一つが$x=1+\sqrt{2}i$であるとき，$a=\boxed{\text{ヘホ}}\text{，}b=\boxed{\text{マ}}$であり，実数解$\alpha$は，$\alpha =\boxed{\text{ミム}}$である．

【２】

2　次の問に答えよ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{7}}{3}}$のとき，$3x^3+4x^2-9x-1=\boxed{\text{メ}}-\sqrt{\boxed{\text{モ}}}$であり，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}(\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}-1)}{4}}$である．

【３】　平面図形に関する以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$と線分$\mathrm{AB}$に関して，次の二つの条件$\mathrm{p}$と$\mathrm{q}$は同値であることを証明せよ．

$\mathrm{p}:$点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にある．

$\mathrm{q}:\mathrm{RA}=\mathrm{RB}$

(2)　(1)の結果を用いて，三角形の三辺の垂直二等分線は一点で交わることを証明せよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において重心と外心が同じ点であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．（ただし，三角形の重心とは，三角形の三つの中点の交点のことである．）