2011　福岡大学　理・医学部医学科前期医学科前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式$9^{{\log }_{3}x}=27$を解くと，$\boxed{\text{(1)}}$である．また，方程式${\log }_{2}x+{\log }_4{(x-3)}^2=1$を解くと，$x=\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x$についての$3$次式$P(x)$を$x-2$で割ると商は$Q(x)\text{，}$余りは$a$で，$Q(x)$を$x-2$で割ると商は$x+3\text{，}$余りは$b$である．ただし，$a\text{，}b$は実数とする．方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i$をもつとき，$a$と$b$の値を求めると，$(a,b)=\boxed{\text{(3)}}$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に$1$回目以上の目が出たときはお菓子を$1$個もらえ，それ以外のときは$2$回目に出した目と同じ個数だけお菓子がもらえるとする．このとき，お菓子を$3$個もらえる確率は$\boxed{\text{(5)}}$である．また，もらえるお菓子の個数の期待値は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$線分$\mathrm{BN}$と$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{(1)}}$となる．さらに，$\mathrm{AB}=9\text{，}\mathrm{AC}=6\text{，}\mathrm{AP}=4$のとき，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　点$(2,-3)$を点$(1,-1)$に移し，点$(-1,4)$を点$(7,-2)$に移す$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めると，$A=\boxed{\text{(3)}}$である．また，原点を中心として一定の角だけ回転する回転移動$g$が点$(3,3)$を$(1+2\sqrt{2},1-2\sqrt{2})$に移すとき，$g$を表す行列$B$を求めると，$B=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$f(x)=x+\sqrt{2}\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と$x$軸および直線$x=2\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$を$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+1}=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定めるとき，$a_7\text{，}{a}_8$の値を求めると，$(a_7,a_8)=\boxed{\text{(3)}}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_k}{2^k}}$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　曲線$y=-\cos x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位は$\mathrm{cm}$とする．この容器に毎秒$1{\mathrm{cm}}^3$ずつ水を入れたとき，$t$秒後の水面の半径を$r\mathrm{cm}$とし，水の体積を$V{\mathrm{cm}}^3$とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　水の体積$V$を$r$の式で表せ．

(ⅱ)　水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度${\displaystyle \frac{dr}{dt}}$を$r$の式で表せ．