2011　福岡大学　人文・経済学部前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　等式$4x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4$が$x$についての恒等式となるように定数$a\text{，}b$の組を定めると，$(a,b)=\boxed{\text{(1)}}$である．また，このとき$2$次方程式$4x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とすると，${\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\beta }}$の値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，方程式$2{\sin }^{2}x+5\cos x+1=0$を解くと，$x=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$0\leqq y\leqq 2\pi$とするとき，不等式$\cos 2y+\sin y\geqq 0$を満たす$y$の値の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時にとりだす．このとき，カードの数字の和が奇数となる確率は$\boxed{\text{(5)}}$である．また，カードの数字の和が奇数のときは，その$3$つの数の最大の値を得点とし，カードの数字の和が偶数のときには一律に$5$点を得点とするゲームを考えると，このゲームの期待値は$\boxed{\text{(6)}}$点である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$y=3x^2\text{（}k\leqq x\leqq k+1\text{）}$の最大値と最小値の差を$M$とする．$-1\leqq k\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$M=2$となる$k$の値は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq k\leqq 0$のとき，$M\leqq 2$である$k$の値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　等式$2{\log }_2(y-3x)=2+{\log }_{2}x+{\log }_{2}y$が成り立っているとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$の値は$\boxed{\text{(3)}}$である．また，このとき，${\log }_2{\displaystyle \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}}$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$a>0$とし，関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-ax+5$の極大値と極小値の差が${\displaystyle \frac{8}{5}}\sqrt{2}$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　定数$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　連立不等式$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y\geqq x\\ y\leqq -f^{\prime }(x)\end{array}$の表す領域の面積を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．