2011　福岡大学　理・工学部後期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　等式$(2-3i)(a-2bi)=12-31i$をみたす実数$a\text{，}b$の値を求めると，$(a,b)=\boxed{\text{(1)}}$である．また，$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$1$つの解が$2-3i$であるとき，実数$p\text{，}q$の値を求めると，$(p,q)=\boxed{\text{(2)}}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\cos A={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}$面積$S={\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$とする．$\mathrm{AC}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とおくとき，$bc=\boxed{\text{(3)}}$である．さらに，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径が${\displaystyle \frac{8\sqrt{7}}{7}}$であり，$b>c$であるとき，$(b,c)=\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　${(a+b+c)}^{10}$の展開式における$a^{2}b{c}^7$の係数は$\boxed{\text{(5)}}$である．また，${(x^2+x+1)}^{10}$の展開式における$x^5$の係数は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$である鋭角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と点$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$\alpha$を$\theta$の式で表すと$\alpha =\boxed{\text{(7)}}$であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき，$\cos \theta =\boxed{\text{(8)}}$である．

【２】　関数$f(x)=x{e}^{-\frac{x}{2}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(1,f(1))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$のグラフと(ⅰ)で求めた接線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．