2012　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］(1)　不等式$|2x+1|\leqq 3$の解は$\boxed{\text{アイ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ウ}}$である．

　以下，$a$を自然数とする．

(2)　不等式

$|2x+1|\leqq a$$\cdots \text{①}$

の解は${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{エ}}-a}{\boxed{\text{オ}}}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{-\boxed{\text{エ}}+a}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(3)　不等式$\text{①}$を満たす整数$x$の個数を$N$とする．$a=3$のとき，$N=\boxed{\text{カ}}$である．また，$a$が$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}\cdots$と増加するとき，$N$が初めて$\boxed{\text{カ}}$より大きくなるのは，$a=\boxed{\text{キ}}$のときである．

【１】

［２］　$a\text{，}$$b$を実数として，$2$次方程式

${(x-a)}^2+4(x-a)+b=0$

を考える．

　下の$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}$には次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}>$
• $\overline{)\text{1}}<$
• $\overline{)\text{2}}\geqq$
• $\overline{)\text{3}}\leqq$
• $\overline{)\text{4}}=$
• $\overline{)\text{5}}\ne$

　この$2$次方程式が異なる二つの実数解をもつ条件は

$b\boxed{\text{ク}}\boxed{\text{ケ}}$

が成立することである．その二つの解を$s\text{，}$$t$とすれば

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}-{(s-t)}^2}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．さらに$s\text{，}$$t$がともに正となる条件は

$a\boxed{\text{ス}}\boxed{\text{セ}}+\sqrt{\boxed{\text{ソ}}-b}$

が成立することである．

【２】　$a\text{，}$$b$を定数として$2$次関数

$y=-x^2+(2a+4)x+b$$\cdots \text{①}$

について考える．関数$\text{①}$のグラフ$G$の頂点の座標は

$(a+\boxed{\text{ア}},a^2+\boxed{\text{イ}}a+b+\boxed{\text{ウ}})$

である．以下，この頂点が直線$y=-4x-1$上にあるとする．このとき，

$b=-a^2-\boxed{\text{エ}}a-\boxed{\text{オカ}}$

である．

(1)　グラフ$G$が$x$軸と異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲は

$a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．また，$G$が$x$軸の正の部分と負の部分の両方で交わるような$a$の値の範囲は

$-\boxed{\text{コ}}-\sqrt{\boxed{\text{サ}}}<a<-\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$

である．

(2)　関数$\text{①}$の$0\leqq x\leqq 4$における最小値が$-22$となるのは

$a=\boxed{\text{シス}}$または$a=\boxed{\text{セ}}$

のときである．また$a=\boxed{\text{セ}}$のとき，関数$\text{①}$の$0\leqq x\leqq 4$における最大値は$\boxed{\text{ソタチ}}$である．

　一方，$a=\boxed{\text{シス}}$のときの$\text{①}$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$y$軸方向に$\boxed{\text{テトナ}}$だけ平行移動すると，$a=\boxed{\text{セ}}$のときのグラフと一致する．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{3}$とする．

　このとき，$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{アイ}}\mathrm{°}$であるから

$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

　$\angle \mathrm{BAC}$の三等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を，点$\mathrm{B}$に近い方から順に，点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．

(1)　$▵\mathrm{ABM}$において，点$\mathrm{M}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を引くと

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\mathrm{AM}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}\mathrm{BM}$

であり

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}\mathrm{AM}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}\mathrm{BM}$

である．よって

$\mathrm{AM}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$\mathrm{BM}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

(2)　$▵\mathrm{AMN}$と$▵\mathrm{ANC}$について，$▵\mathrm{AMN}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}\mathrm{AN}$であり，$▵\mathrm{ANC}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\mathrm{AN}$である．

　また，$▵\mathrm{AMC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$であるから，$\mathrm{AN}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

【４】(1)　$a$を正の実数とする．${\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2+a+1={({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}a+1)}^2$であり，また

$0<a+1<{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2+a+1$

であるので

$\sqrt{a+1}<{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}a+1$$\cdots \text{①}$

となる．

(2)　$2$次不等式${({\displaystyle \frac{12}{25}}a+1)}^2<a+1$を解くと，$0<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イウ}}}{\boxed{\text{エオカ}}}}$となる．よって，$0<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イウ}}}{\boxed{\text{エオカ}}}}$のとき

${\displaystyle \frac{12}{25}}a+1<\sqrt{a+1}$$\cdots \text{②}$

が成り立つ．

(3)　(1)と(2)の結果を用いて，$\sqrt{17}$のおよその値を求める．

　${\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キク}}}+1}}$である．$a={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キク}}}}$を$\text{①}$に代入すると${\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$となり，$\text{②}$に代入すると${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセソ}}}{\boxed{\text{タチツ}}}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}}$となる．したがって

${\displaystyle \frac{m}{200}}<\sqrt{17}<{\displaystyle \frac{m+1}{200}}$$\cdots \text{③}$

を満たす自然数$m$は$\boxed{\text{テトナ}}$である．$\text{③}$より$\sqrt{17}$の小数第$3$位を四捨五入すると，$4.\boxed{\text{ニヌ}}$となる．

【１】

〔２〕　$k$を定数とする．自然数$m\text{，}$$n$に関する条件$\mathrm{p}\text{，}$$\mathrm{q}\text{，}$$\mathrm{r}$を次のように定める．

$\mathrm{p}:m>k$または$n>k$

$\mathrm{q}:mn>k^2$

$\mathrm{r}:mn>k$

(1)　次の$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．$\mathrm{p}$の否定$\bar{\mathrm{p}}$は$\boxed{\text{ク}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　$m>k$または$n>k$

$\overline{)\text{1}}$　$m>k$かつ$n>k$

$\overline{)\text{2}}$　$m\leqq k$かつ$n\leqq k$

$\overline{)\text{3}}$　$m\leqq k$または$n\leqq k$

(2)　次の$\boxed{\text{ケ}}\text{〜}$$\boxed{\text{サ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(ⅰ)　$k=1$とする．

$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための$\boxed{\text{ケ}}$．

(ⅱ)　$k=2$とする．

$\mathrm{p}$は$\mathrm{r}$であるための$\boxed{\text{コ}}$．

$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための$\boxed{\text{サ}}$．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件でない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件でない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=2$であるとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\text{，}$$▵\mathrm{ABC}$の内接円$I$の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

　また円$I$の中心から点$\mathrm{B}$までの距離は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

(1)　辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}$かつ$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{2}{3}}$となるようにとる．このとき，$▵\mathrm{PBQ}$の外接円$O$の直径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であり，円$I$と円$O$は$\boxed{\text{セ}}\text{．}$ただし，$\boxed{\text{セ}}$には次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$から当てはまるものを一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　重なる（一致する）
• $\overline{)\text{1}}$　内接する
• $\overline{)\text{2}}$　外接する
• $\overline{)\text{3}}$　異なる$2$点で交わる
• $\overline{)\text{4}}$　共有点をもたない

(2)　円$I$上に点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{F}$を，$3$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が一直線上にこの順に並び，かつ，$\mathrm{CF}=\sqrt{2}$となるようにとる．このとき

$\mathrm{CE}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CE}}}=\boxed{\text{チ}}$

である．

　さらに，円$I$と辺$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{DF}$との交点を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{CG}$の延長と線分$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{M}$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{CG}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【４】　$1$から$9$までの数字が一つずつ書かれた$9$枚のカードから$5$枚のカードを同時に取り出す．このようなカードの取り出し方は$\boxed{\text{アイウ}}$通りある．

(1)　取り出した$5$枚のカードの中に$5$と書かれたカードがある取り出し方は$\boxed{\text{エオ}}$通りであり，$5$と書かれたカードがない取り出し方は$\boxed{\text{カキ}}$通りである．

(2)　次のように得点を定める．

・取り出した$5$枚のカードの中に$5$と書かれたカードがない場合は，得点を$0$点とする．

・取り出した$5$枚のカードの中に$5$と書かれたカードがある場合，この$5$枚を書かれている数の小さい順に並べ，$5$と書かれたカードが小さい方から$k$番目にあるとき，得点を$k$点とする．

　得点が$0$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．得点が$1$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシス}}}}$で，得点が$2$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}\text{，}$得点が$3$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

　また，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$点である．