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2012 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
2012 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
2012 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
(1) 曲線上の点におけるの接線の方程式は
である.放物線は点を通り,のにおける接線と,のにおける接線が一致するとする.このとき,とをを用いて表すと
となる.
以下,はを満たすとする.
(2) 放物線が軸上の与えられた点を通るとき
が成り立つ.与えられたに対して,を満たすの値の個数を調べよう.
そのために,関数
の増減を調べる.関数は,で極小値をとり,で極大値をとる.
関数のグラフをかくことにより,のとき,を満たすの値の個数はであることがわかる.
(3) 放物線の頂点が軸上にあるのは,の二つの場合である.のときの放物線をのときの放物線をとする.と軸で囲まれた図形の面積はである.
【3】 を原点とする座標平面上に点をとる.三角形の重心を直線と辺との交点をとおく.の座標はである.線分上に点をとり,直線と直線との交点をとする.が線分上を動くとき,三角形の面積の最小値を求めよう.
の座標はであるから,の方程式は
となる.ただし,との解答の順序,およびとの解答の順序は問わない.
また,の方程式は
であるから,の座標は
である.
したがって,三角形の面積をを用いて表すと
となる.ここで,式を簡単にするために,とおくと
となる.
が線分上を動くとき,のとり得る値の範囲はである.相加平均と相乗平均の関係により
となり,等号はのときに成り立つ.したがって,のとき,は最小値をとる.また,このときのの傾きはである.
2012 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
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易□ 並□ 難□
【4】 空間に異なる点を,となるようにとり,とおく.さらに,点を,となるようにとり,線分の中点を線分の中点をとし,線分をに内分する点をとする.
(1) は,を用いて
と表される.
(2) 直線が交わることを確かめよう.とし,線分をに内分する点をとする.は,とを用いて
と表される.のとき,となるので,は一直線上にある.よって,直線は交わることがわかる.
(3) 直線の交点をとする.は,を用いて
と表される.
とする.このとき,となる.
次に,直線上に点をとり,実数を用いて,と表す.は,を用いて
と表される.
さらに,とする.このときのの値を求めよう.
とであることから
が成り立つ.から,である.
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【5】 ある高等学校のクラスには全部で人の生徒がいる.次の表は,その人の生徒の国語と英語のテストの結果をまとめたものである.表の横軸は国語の得点を,縦軸は英語の得点を表し,表中の数値は,国語の得点と英語の得点の組み合わせに対応する人数を表している.ただし,得点は以上以下の整数値をとり,空欄は人であることを表している.たとえば,国語の得点が点で英語の得点が点である生徒の人数はである.
(点) | ||||||||||||
英 語 | ||||||||||||
国語 | (点) |
また,次の表は,クラスの人について,上の表の国語と英語の得点の平均値と分散をまとめたものである.ただし,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていない.
国 語 | 英 語 | |
平均値 | ||
分 散 |
以下,小数の形で解答する場合,指定された数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁までにマークすること.
(1) クラスの人のうち,国語の得点が点の生徒は人であり,英語の得点が国語の得点以下の生徒は人である.
(2) クラスの人について,国語の得点の平均値B
は点であり,英語の得点の分散の値はである.
(3) クラスの人のうち,国語の得点が平均値点と異なり,かつ,英語の得点も平均値と異なる生徒は人である.
クラスの人について,国語の得点と英語の得点の相関係数の値はである.
次の表は,クラスの人に他のクラスの人を加えた人の生徒について,前の表と同じ国語と英語のテストの結果をまとめたものである.この人について,国語の得点の平均値も英語の得点の平均値も,それぞれちょうど点である.
(点) | ||||||||||||
英 語 | ||||||||||||
国語 | (点) |
(4) 上の表でを除いた人数は人である.その人について,国語の得点の合計は点であり,英語の得点の合計は点である.
したがって,連立方程式
を解くことによって,の値は,それぞれ,人,人,人であることがわかる.
(5) 人からクラスの人を除いた人について,英語の得点の平均値は点であり,中央値は点である.
(6) 人のうち,国語の得点が点である生徒について,英語の得点の平均値と英語の得点の中央値を考える.ただし,は以上以下の整数とする.このとき,となるは個あり,かつとなるは個ある.
【6】 与えられた二つの自然数とについて,から始まる個の連続する自然数の積がで割り切れるかどうかを調べ,その結果を出力する〔プログラム1〕を作成した.ただし,INT(X)
は X
を超えない最大の整数を表す関数である.
〔プログラム1〕
100 INPUT PROMPT "M=":M
110 INPUT PROMPT "N=":N
120
130 FOR I=0 TO
140 LET X=X*(M+I)
150 NEXT I
160 IF
THEN
170 PRINT "8
で割り切れます"
180
190 END IF
200 PRINT "8
で割り切れません"
210 END
(1) 〔プログラム1〕のに当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
LET X=0
LET X=1
LET X=M
LET X=M+N-1
LET N=M
LET N=M+N
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
M-1
M
N-1
N
M+N-1
M+N
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
N-INT(N/8)*8<0
N-INT(N/8)*8=0
N-INT(N/8)*8>0
X-INT(X/8)*8<0
X-INT(X/8)*8=0
X-INT(X/8)*8>0
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
LET X=X+1
LET M=M+1
LET X=X/8
GOTO 150
GOTO 200
GOTO 210
(2) 〔プログラム1〕を実行したとき,「8
で割り切れます」と出力されるような変数 M
,N
への入力について,M+N
の値の最小値はである.
また,変数 M
にどんな自然数を入力しても,つねに「 8
で割り切れます」と出力されるような変数 N
への入力がある.このような変数 N
への入力のうち,最小の自然数はである.
二つの自然数とが与えられたとき,条件
「は以下の自然数であり,かつから始まる個の連続する自然数の積はで割り切れるがでは割り切れない」(*)
を満たすの個数を求めたい.そのために,〔プログラム1〕を変更して,〔プログラム2〕を作成した.ただし,100
行と,120
行から 150
行まで,190
行,210
行は変更していない.
〔プログラム2〕
100 INPUT PROMPT "M=":M
110 INPUT PROMPT "L=":L
112
114 FOR N=1 TO L
120
130 FOR I=0 TO
140 LET X=X*(M+I)
150 NEXT I
152 LET K=2^N
160 IF
THEN
170 LET K=K*2
180 IF
THEN
182
184 END IF
190 END IF
200 NEXT N
202 PRINT "
求める個数は";C
210 END
(3) 〔プログラム2〕のに当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
LET C=0
LET C=M-1
LET C=L-1
LET C=1
LET C=M
LET C=L
に当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.
N-INT(N/K)*K<0
N-INT(N/K)*K=0
N-INT(N/K)*K>0
X-INT(X/K)*K<0
X-INT(X/K)*K=0
X-INT(X/K)*K>0
に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
LET X=X+1
LET N=N+1
LET K=K*2
LET C=C+1
GOTO 200
GOTO 210
(4) 〔プログラム2〕を実行し,変数 M
に 4
,変数 L
に 5
を入力したとき,202
行で出力される変数 C
の値はである.
(5) 〔プログラム2〕において,条件(*)を満たすの値をすべて出力するためには,たとえば,に
PRINT N
という行を挿入すればよい.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
110
と 112
行の間150
行と 152
行の間180
行と 182
行の間200
行と 202
行の間