2012 大学入試センター試験 本試験 数学II・数学IIBMathJax

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2012 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a>0 a1 として,不等式

2log a( 8-x) >loga (x -2)

を満たす x の値の範囲を求めよう.

 真数は正であるから, <x< が成り立つ.ただし,対数 log ab に対し, a を底といい, b を真数という.

 底 a a< 1 を満たすとき,不等式

x2- ウエ x+ オカ 0

となる.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 2 のうちから一つ選べ.

 したがって,真数が正であることと から, a<1 のとき,不等式 を満たす x のとり得る値の範囲は < x< である.

 同様にして, a>1 のときには,不等式 を満たす x のとり得る値の範囲は < x< であることがわかる.

2012 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通問題

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  0α π として

sinα= cos2 β

を満たす β について考えよう.ただし, 0β π とする.

 たとえば, α= π6 のとき, β のとり得る値は π π の二つである.

 このように, α の各値に対して, β のとり得る値は二つある.そのうちの小さい方を β1 大きい方を β 2 とし

y=sin (α + β12 + β23 )

が最大となる α の値とそのときの y の値を求めよう.

  β1 β2 α を用いて表すと, 0α< π 2 のときは

β1= π - α β2 = π+ α

となり, π2 α π のときは

β1= - π + α β2 = π- α

となる.

 したがって, α+ β12 + β23 のとり得る値の範囲は

π α+ β12 + β23 ニヌ π

である.よって, y が最大となる α の値は ハヒ π であり,そのときの y の値は であることがわかる. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

0   12 1   1 2   2 2 3   3 2

2012 大学入試センター試験 本試

数学II・数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上で曲線 y= x3 C とし,放物線 y= x2+ px+ q D とする.

(1) 曲線 C 上の点 P (a, a3 ) における C の接線の方程式は

y=3a x- a

である.放物線 D は点 P を通り, D P における接線と, C P における接線が一致するとする.このとき, p q a を用いて表すと

{ p=3 a - aq = カキ a3+ a

となる.

 以下, p q を満たすとする.

(2) 放物線 D y 軸上の与えられた点 Q (0 ,b) を通るとき

b= ケコ a3 +a

が成り立つ.与えられた b に対して, を満たす a の値の個数を調べよう.

 そのために,関数

f( x)= ケコ x3+ x

の増減を調べる.関数 f (x ) は, x= で極小値 をとり, x= で極大値 チツ をとる.

 関数 y= f( x) のグラフをかくことにより, <b< チツ のとき, を満たす a の値の個数は であることがわかる.

(3) 放物線 D の頂点が x 軸上にあるのは, a= の二つの場合である. a= のときの放物線を D1 a= のときの放物線を D 2 とする. D1 D2 x 軸で囲まれた図形の面積は 2 3 ネノ である.

2012 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  O を原点とする座標平面上に 2 A (1 ,a) B (0 ,2) をとる.三角形 OAB の重心を G 直線 AG と辺 OB との交点を L とおく. L の座標は ( 0, ) である.線分 OL 上に点 P (0 ,t) をとり,直線 PG と直線 AB との交点を Q とする. P が線分 OL 上を動くとき,三角形 BPQ の面積 S の最小値を求めよう.

  G の座標は ( , + ) であるから, PG の方程式は

y=( + - t) x+t

となる.ただし, の解答の順序,および の解答の順序は問わない.

 また, AB の方程式は

y=( - ) x+

であるから, Q x 座標は

-t - t

である.

 したがって,三角形 BPQ の面積 S t を用いて表すと

S= ( -t) 2 ( - t )

となる.ここで,式を簡単にするために, u= - t とおくと

S= 1 チツ (u + u+ )

となる.

  P が線分 OL 上を動くとき, u のとり得る値の範囲は u である.相加平均と相乗平均の関係により

u+ u

となり,等号は u= のときに成り立つ.したがって, u= のとき, S は最小値 をとる.また,このときの PG の傾きは である.

2012 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a を実数とし,次数が 3 以下の整式 P (x )

P( 1)= 0 P (2 )=a P( 3)= 2 P( 4)= 6

を満たすとする. P( 1)= 0 であるので,因数定理から, P( x) x- で割り切れ,次数が 2 以下の整式 Q (x )

P( x)= (x- ) Q (x )

を満たすものがある. Q( x) を求めるために

Q( x)= r(x -2) (x -3) +s( x-2) +t

とおいて,定数 r s t a を用いて表してみよう. P( 2)= a から t= となり,次に, P( 3)= 2 から s = ウエ + となる.さらに, P( 4)= 6 から r = となる.したがって, Q( x)

1 { x2 +( クケ a+ ) x + サシ a- }

である.

 方程式 P (x) =0 が虚数解をもつような a の値の範囲は

- <a < +

である.この範囲にある最小の整数は である. a= のとき,方程式 P (x )=0 の虚数解は

± i

である.

2012 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  {a n} a 2=- 7 3 a5 =- 253 である等差数列とし,自然数 n に対して, Sn= k=1 n ak とおく.

  a1= アイ であり, {an } の公差は エオ である.したがって

an= カキ n+ n=1 2 3

Sn= n2+ n n= 1 2 3

である.

 次に数列 { bn }

k=1 n bk= 4 3 b n+S n n=1 2 3

を満たすとする.数列 { bn } の一般項を求めよう. から, b1= である.さらに, k= 1n+ 1 bk = k =1n bk+ bn+ 1 に注意して, を利用すると

bn+ 1= bn+ n+ n= 1 2 3

が成り立ち,この等式は

bn+ 1+ ( n+1) + = ( bn+ n+ ) n=1 2 3

と変形できる.ここで

cn= bn+ n+ n= 1 2 3

とおくと, {c n} は, c1= 公比が の等比数列であるから, により

bn= - n- n= 1 2 3

である.ただし, については,当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.



2012 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 空間に異なる 4 O A B C を, OA OB OB OC OC OA となるようにとり, OA =a OB =b OC= c とおく.さらに, 3 D E F を, OD =a +b OE =b +c OF =a +c となるようにとり,線分 BD の中点を L 線分 CE の中点を M とし,線分 AD 3 :1 に内分する点を N とする.

(1)  OM ON は, a b c を用いて

OM = 1 b + c ON =a + b

と表される.

(2)  2 直線 FL MN が交わることを確かめよう. 0<s< 1 とし,線分 FL s :(1 -s) に内分する点を P とする. OP は, s a b c を用いて

OP =( - s ) a +s b +( - s) c

と表される. s= のとき, MP = MN となるので, M N P は一直線上にある.よって, 2 直線 FL MN は交わることがわかる.

(3)  2 直線 FL MN の交点を G とする. OG GF は, a b c を用いて

OG = ( a + b +c )

GF = (a - b+ c )

と表される.

  | a |= 5 | b |= 4 |c | =3 とする.このとき, | GF |= | GM |= 2 となる.

 次に,直線 OC 上に点 H をとり,実数 t を用いて, OH =t c と表す. GF GH GM GH は, t を用いて

GF GH = t+ ツテ

GM GH =2 t+ 103

と表される.

 さらに, FGH= MGH とする.このときの t の値を求めよう.

  | GF |= | GM |= 2 FGH=MGH であることから

GF GH = GM GH

が成り立つ. から, t= である.

2012 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 ある高等学校の A クラスには全部で 20 人の生徒がいる.次の表は,その 20 人の生徒の国語と英語のテストの結果をまとめたものである.表の横軸は国語の得点を,縦軸は英語の得点を表し,表中の数値は,国語の得点と英語の得点の組み合わせに対応する人数を表している.ただし,得点は 0 以上 10 以下の整数値をとり,空欄は 0 人であることを表している.たとえば,国語の得点が 7 点で英語の得点が 6 点である生徒の人数は 2 である.

(点)

10              

9              
8         1  1  
7       5      
6      4 1 1 2    
5       2      
4     1 1        
3     1         
2              
1              
0              
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
   国語(点)

 また,次の表は, A クラスの 20 人について,上の表の国語と英語の得点の平均値と分散をまとめたものである.ただし,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていない.

 国 語 英 語
平均値 B 6.0
分 散 1.60 C

 以下,小数の形で解答する場合,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1)  A クラスの 20 人のうち,国語の得点が 4 点の生徒は 人であり,英語の得点が国語の得点以下の生徒は 人である.

(2)  A クラスの 20 人について,国語の得点の平均値B . 点であり,英語の得点の分散 C の値は . カキ である.

(3)  A クラスの 20 人のうち,国語の得点が平均値 . 点と異なり,かつ,英語の得点も平均値 6.0 と異なる生徒は 人である.

  A クラスの 20 人について,国語の得点と英語の得点の相関係数の値は . コサシ である.

 次の表は, A クラスの 20 人に他のクラスの 40 人を加えた 60 人の生徒について,前の表と同じ国語と英語のテストの結果をまとめたものである.この 60 人について,国語の得点の平均値も英語の得点の平均値も,それぞれちょうど 5.4 点である.

(点) 10              

9              
8         1  1  
7       5   2 1 
6      4 1 8 5 F  
5      3 5 5 1    
4   2 2 D E 2 2    
3  1   1         
2              
1              
0              
   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  国語 (点)

(4) 上の表で D E F を除いた人数は 52 人である.その 52 人について,国語の得点の合計は スセソ 点であり,英語の得点の合計は 288 点である.

 したがって,連立方程式

D+ E+ F=

4 D+ 5E +8 F= チツ

4D +4E +6F =36

を解くことによって, D E F の値は,それぞれ, 人, 人, 人であることがわかる.

(5)  60 人から A クラスの 20 人を除いた 40 人について,英語の得点の平均値は . 点であり,中央値は . 点である.

(6)  60 人のうち,国語の得点が x 点である生徒について,英語の得点の平均値 M (x ) と英語の得点の中央値 N (x ) を考える.ただし, x 1 以上 9 以下の整数とする.このとき, M( x) N( x) となる x 個あり, M( x)< x かつ N (x )<x となる x 個ある.

2012 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】 与えられた二つの自然数 M N について, M から始まる N 個の連続する自然数の積 M ×( M+1) ×( M+2) ×× (M+ N-1 ) 8 で割り切れるかどうかを調べ,その結果を出力する〔プログラム1〕を作成した.ただし,INT(X) X を超えない最大の整数を表す関数である.

〔プログラム1〕

  • 100 INPUT PROMPT "M=":M
  • 110 INPUT PROMPT "N=":N
  • 120
  • 130 FOR I=0 TO
  • 140  LET X=X*(M+I)
  • 150 NEXT I
  • 160 IF THEN
  • 170  PRINT "8 で割り切れます"
  • 180  
  • 190 END IF
  • 200 PRINT "8 で割り切れません"
  • 210 END

(1) 〔プログラム1〕の に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

(2) 〔プログラム1〕を実行したとき,「8 で割り切れます」と出力されるような変数 M N への入力について,M+N の値の最小値は である.

 また,変数 M にどんな自然数を入力しても,つねに「 8 で割り切れます」と出力されるような変数 N への入力がある.このような変数 N への入力のうち,最小の自然数は である.

 二つの自然数 M L が与えられたとき,条件

N L 以下の自然数であり,かつ M から始まる N 個の連続する自然数の積 M ×(M +1) ×(M +2) ×× (M+ N-1 ) 2 N で割り切れるが 2 N+1 では割り切れない」 (*)

を満たす N の個数を求めたい.そのために,〔プログラム1〕を変更して,〔プログラム2〕を作成した.ただし,100 行と,120 行から 150 行まで,190 行,210 行は変更していない.

〔プログラム2〕

  • 100 INPUT PROMPT "M=":M
  • 110 INPUT PROMPT "L=":L
  • 112
  • 114 FOR N=1 TO L
  • 120  
  • 130  FOR I=0 TO
  • 140    LET X=X*(M+I)
  • 150  NEXT I
  • 152  LET K=2^N
  • 160  IF THEN
  • 170    LET K=K*2
  • 180    IF THEN
  • 182      
  • 184    END IF
  • 190  END IF
  • 200 NEXT N
  • 202 PRINT "求める個数は";C
  • 210 END

(3) 〔プログラム2〕の に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.

(4) 〔プログラム2〕を実行し,変数 M 4 ,変数 L 5 を入力したとき,202 行で出力される変数 C の値は である.

(5) 〔プログラム2〕において,条件(*)を満たす N の値をすべて出力するためには,たとえば,

PRINT N

という行を挿入すればよい. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.



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