2012　北海道大学　前期MathJax

【１】　$m>0\text{，}n>0\text{，}0<x<1$とする．$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AQ}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{S}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{T}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}m\text{，}n\text{，}x$で表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$が一直線上にあるとき，$x$を$m\text{，}n$で表せ．

【２】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数

$f(\theta )=4\cos 2\theta \sin \theta +3\sqrt{2}\cos 2\theta -4\sin \theta$

を考える．

(1)　$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta )$を$x$で表せ．

(2)　$f(\theta )$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(a+3,b)\text{，}\mathrm{C}(a+1,b+2)$がある．不等式$y\geqq x^2$の表す領域を$D\text{，}$不等式$y\leqq x^2$の表す領域を$E$とする．

(1)　点$\mathrm{C}$が領域$D$に含まれ，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が領域$E$に含まれるような$a\text{，}b$の条件を連立不等式で表せ．

(2)　(1)で求めた条件を満たす点$(a,b)$の領域$F$を$ab$平面上に図示せよ．

(3)　(2)で求めた領域$F$の面積を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$チームが試合を行い，どちらかが先に$k$勝するまで試合をくり返す．各試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$とし，$p+q=1$とする．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$k$勝する確率を$P_k$とおく．

(1)　$P_2$を$p$と$q$で表せ．

(2)　$P_3$を$p$と$q$で表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<q<1$のとき，$P_3<P_2$であることを示せ．

【１】　$k$は実数，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は$ad-bc=1$を満たす実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の表す移動は以下の$3$条件を満たすとする．

(イ)　直線$y=x$上の点は直線$y=x$上の点に移る．

(ロ)　直線$y=-x$上の点は直線$y=-x$上の点に移る．

(ハ)　$x$軸上の点は直線$y=kx$上の点に移る．

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$A$を$k$で表せ．

【２】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数

$f(\theta )=4\cos 2\theta \sin \theta +3\sqrt{2}\cos 2\theta -4\sin \theta$

を考える．

(1)　$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta )$を$x$で表せ．

(2)　$f(\theta )$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　方程式$f(\theta )=k$が相異なる$3$つの解をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき，$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq \sin x\leqq x$を示せ．

(2)　$x\geqq 0$のとき，${\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^5}{30}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^x}t\sin tdt\leqq {\displaystyle \frac{x^3}{3}}$を示せ．

(3)　極限値

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x-x\cos x}{x^3}}$

を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b$に対して，$f(x)=x^2-2ax+b\text{，}g(x)=x^2-2bx+a$とおく．

(1)　$a\ne b$のとき，$f(c)=g(c)$を満たす実数$c$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$c$について，$a\text{，}b$が条件$a<c<b$を満たすとする．このとき，連立不等式

$f(x)<0$かつ$g(x)<0$

が解をもつための必要十分条件を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　一般に$a<b$のとき，連立不等式

$f(x)<0$かつ$g(x)<0$

が解をもつための必要十分条件を求め，その条件を満たす点$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$チームが試合を行い，どちらかが先に$k$勝するまで試合をくり返す．各試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$とし，$p+q=1$とする．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$k$勝する確率を$P_k$とおく．

(1)　$P_2$を$p$と$q$で表せ．

(2)　$P_3$を$p$と$q$で表せ．

(3)　$P_4$を$p$と$q$で表せ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<q<1$のとき，$P_4<P_3$であることを示せ．