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2012 室蘭工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  a b c を定数とし, a>0 とする.関数 f (x) g (x)

f( x)= x2 g( x)=- ax2 +bx +c

と定める.

(1)  2 つの放物線 y= f( x) y= g( x) 2 つの交点を持つための必要十分条件を求めよ.

(2)  2 つの放物線 y= f( x) y= g( x) 2 つの交点 (- 1,1 ) (2, 4) を持つとする.このとき, b c a を用いて表せ.

(3) (2)の条件のもとで, 2 つの放物線 y= f( x) y= g( x) で囲まれた図形の面積が 9 であるとき, a b c の値を求めよ.

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【2】  a b を定数とする.関数 f (x ) 0< x<2 で定義され,条件

f ( x)= 2 ax (2 -x) +b f ( 12 ) =9 f ( 1)= 7 f( 1)= 1

を満たすとする.

(1)  a b の値を求めよ.

(2) 関数 f (x ) を求めよ.

(3) 曲線 y= f( x) の変曲点を求めよ.

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【3】 数列 { an}

an= 2 n+1 n( n+1) (n +2) n=1 2 3

と定める.

(1) 定数 p q を用いて a n=p ( 1n - 1n+1 ) +q ( 1n+1 - 1n+2 ) と表すとき, p q の値を求めよ.

(2) 数列 { an} の初項から第 n 項までの和 S n を求めよ.

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【4】 平面上の 3 A B C は同一直線上にないものとし, | AB |= | AC |= 1 とする.また, t を正の実数とし,平面上の点 P AP= AB +t AC と定め,線分 AP BC の交点を Q とする.

(1)  AQ t および AB AC を用いて表せ.

(2) 三角形 ABP の面積を t と内積 AB AC を用いて表せ.

(3)  AC CP かつ点 Q が線分 BC 1: 2 に内分するとき,三角形 BPQ の面積を求めよ.

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【5】  s t を実数とし,行列 A= ( st -2 6 ) E=(1 00 1 ) とする. P=-A +4E に対して, P2 =P が成り立つとする.

(1)  s t の値を求めよ.

(2)  a b を相異なる実数とする. AP ( a b) =λ P( a b) を満たす実数 λ の値を求めよ.

(3) 数列 { xn} { yn}

( x1 y1 )= P( 2 1 ) ( xn yn )= An- 1 ( x1 y 1 ) n= 2 3 4

と定める.数列 { xn} { yn} の一般項を求めよ.

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