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2012-10007-0101
2012 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b ,c を定数とし, a>0 とする.関数 f⁡ (x) ,g⁡ (x) を
f⁡( x)= x2 ,g⁡( x)=- a⁢x2 +b⁢x +c
と定める.
(1) 2 つの放物線 y= f⁡( x) と y= g⁡( x) が 2 つの交点を持つための必要十分条件を求めよ.
(2) 2 つの放物線 y= f⁡( x) と y= g⁡( x) が 2 つの交点 (- 1,1 ), (2, 4) を持つとする.このとき, b と c を a を用いて表せ.
(3) (2)の条件のもとで, 2 つの放物線 y= f⁡( x) と y= g⁡( x) で囲まれた図形の面積が 9 であるとき, a ,b , c の値を求めよ.
2012-10007-0102
【2】 a ,b を定数とする.関数 f⁡ (x ) は 0< x<2 で定義され,条件
f′ ⁡( x)= 2 ⁢ax ⁢(2 -x) +b , f′⁡ ( 12 ) =9 ,f′ ⁡( 1)= 7 ,f⁡( 1)= 1
を満たすとする.
(1) a ,b の値を求めよ.
(2) 関数 f⁡ (x ) を求めよ.
(3) 曲線 y= f⁡( x) の変曲点を求めよ.
2012-10007-0103
【3】 数列 { an} を
an= 2 ⁢n+1 n⁢( n+1) ⁢(n +2) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
(1) 定数 p , q を用いて a n=p⁢ ( 1n - 1n+1 ) +q⁢ ( 1n+1 - 1n+2 ) と表すとき, p ,q の値を求めよ.
(2) 数列 { an} の初項から第 n 項までの和 S n を求めよ.
2012-10007-0104
【4】 平面上の 3 点 A , B ,C は同一直線上にないものとし, | AB→ |= | AC→ |= 1 とする.また, t を正の実数とし,平面上の点 P を AP→= AB→ +t⁢ AC→ と定め,線分 AP と BC の交点を Q とする.
(1) AQ→ を t および AB → ,AC→ を用いて表せ.
(2) 三角形 ABP の面積を t と内積 AB →⋅ AC→ を用いて表せ.
(3) AC→ ⊥CP→ かつ点 Q が線分 BC を 1: 2 に内分するとき,三角形 BPQ の面積を求めよ.
2012-10007-0105
【5】 s ,t を実数とし,行列 A= ( st -2 6 ), E=(1 00 1 ) とする. P=-A +4⁢E に対して, P2 =P が成り立つとする.
(1) s ,t の値を求めよ.
(2) a ,b を相異なる実数とする. A⁢P⁢ ( a b) =λ⁢ P⁢( a b) を満たす実数 λ の値を求めよ.
(3) 数列 { xn} ,{ yn} を
( x1 y1 )= P⁢( 2 1 ), ( xn yn )= An- 1⁢ ( x1 y 1 )( n= 2, 3 ,4 ,⋯)
と定める.数列 { xn} ,{ yn} の一般項を求めよ.