2012 旭川医科大学 前期

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2012 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 正の奇数 p に対して, 3 つの自然数の組 (x ,y,z ) で, x2+ 4y z=p を満たすもの全体の集合を S とおく.すなわち,

S={ (x, y,z) |x, y,z は自然数 ,x2+ 4y z=p}

次の問いに答えよ.

問1  S が空集合でないための必要十分条件は, p=4 k+1 k は自然数)と書けることであることを示せ.

問2  S の要素の個数が奇数ならば S の要素 (x ,y,z ) y= z となるものが存在することを示せ.

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易□ 並□ 難□

【2】  C1 を中心 (0 ,0) 半径 1 の円とし, C2 を中心 (0 ,0) 半径 r> 1 の円とする. ad- bc> 0 を満たす行列 A =( ab cd ) で表される 1 次変換により円 C 1 が円 C 2 に移るとする.次の問いに答えよ.

問1  a2+ c2= b2+ d2= r2 ab+ cd= 0 が成り立つことを示せ.

問2  a=r cosθ c=r sinθ θ は実数)とおくとき, b d r θ を用いて表せ.

問3  B= 1r ( ab cd ) とする.また, C1 に外接し, C2 に内接する 8 個の相異なる円 S1 S 2 S 8 が次の 3 条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満たしているとする.このとき, r を求めよ.

(ⅰ) 行列 B で表される 1 次変換により S i i= 1 2 7 S i+1 に, S8 S 1 に移る.

(ⅱ)  Si+ 1 i= 1 2 7 S i に外接し, S8 S 1 にも外接する.

(ⅲ)  S1 S 3 S4 S7 と交わらない.

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【3】  a を正の実数とし, fn (x) = 0x e- at sinn td t n=1 2 3 とおく.このとき,次の問いに答えよ.

問1  limx fn (x ) を求めよ.

問2  a= 32 とするとき, limx fn (x ) が最大となる自然数 n およびそのときの最大値を求めよ.

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【4】 曲線 C: y=log x 上に異なる 2 A (a ,loga ) B (b ,logb ) をとり, C A における接線と B における接線の交点について考える.次の問いに答えよ.

問1 任意に与えられた a> 1 に対して, 2 本の接線の交点がちょうど直線 x =1 上にくるような b が唯一つだけ存在し, b<1 であることを示せ.

問2  2 A (a ,loga ) B ( 1a ,log 1a ) a>1 について, 2 本の接線の交点の x 座標が 1 より大きいか小さいかを調べよ.

問3  k を自然数とする. a=1+ 1 k として問2の結果を使って,次の不等式が成りたつことを示せ.

k=1 n 1 k> 12 (1 +1 n) +log n n 2