2012　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　正の奇数$p$に対して，$3$つの自然数の組$(x,y,z)$で，$x^2+4yz=p$を満たすもの全体の集合を$\mathrm{S}$とおく．すなわち，

$\mathrm{S}=\{(x,y,z)|x,y,z\text{は自然数},x^2+4yz=p\}$．

次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{S}$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1$（$k$は自然数）と書けることであることを示せ．

問２　$\mathrm{S}$の要素の個数が奇数ならば$\mathrm{S}$の要素$(x,y,z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．

【２】　$C_1$を中心$(0,0)\text{，}$半径$1$の円とし，$C_2$を中心$(0,0)\text{，}$半径$r>1$の円とする．$ad-bc>0$を満たす行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換により円$C_1$が円$C_2$に移るとする．次の問いに答えよ．

問１　$a^2+c^2=b^2+d^2=r^2\text{，}ab+cd=0$が成り立つことを示せ．

問２　$a=r\cos \theta \text{，}c=r\sin \theta$（$\theta$は実数）とおくとき，$b\text{，}d$を$r\text{，}\theta$を用いて表せ．

問３　$B={\displaystyle \frac{1}{r}}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とする．また，$C_1$に外接し，$C_2$に内接する$8$個の相異なる円$S_1\text{，}{S}_2\text{，}\cdots \text{，}{S}_8$が次の$3$条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たしているとする．このとき，$r$を求めよ．

(ⅰ)　行列$B$で表される$1$次変換により$S_i$（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}7\text{）}$は$S_{i+1}$に，$S_8$は$S_1$に移る．

(ⅱ)　$S_{i+1}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}7\text{）}$は$S_i$に外接し，$S_8$は$S_1$にも外接する．

(ⅲ)　$S_1$は$S_3\text{，}{S}_4\text{，}\cdots \text{，}{S}_7$と交わらない．

【３】　$a$を正の実数とし，$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-at}\sin ntdt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

問２　$a={\displaystyle \frac{3}{2}}$とするとき，$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$が最大となる自然数$n\text{，}$およびそのときの最大値を求めよ．

【４】　曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\log a)\text{，}\mathrm{B}(b,\log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

問１　任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．

問２　$2$点$\mathrm{A}(a,\log a)\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{a}},\log {\displaystyle \frac{1}{a}})\text{（}a>1\text{）}$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．

問３　$k$を自然数とする．$a=1+{\displaystyle \frac{1}{k}}$として問２の結果を使って，次の不等式が成りたつことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})+\log n\text{（}n\geqq 2\text{）}$