2012 北見工業大学 後期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 以下の空白(ⅰ)〜(ⅶ)をうめよ.なお,(5)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ.

(1)  0 でない 3 つの実数 x y z 2 つの等式 x +2y -3z =0 および 3 x+y -2z =0 をみたすとする.比 x :y:z を整数 a b c を用いて x :y:z =a:b :c と表すとき, a= (ⅰ) b= (ⅱ) c= (ⅲ) である.ただし 1 b10 とする.

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 以下の空白(ⅰ)〜(ⅶ)をうめよ.なお,(5)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ.

(2)  y=x log( x2+ 1) のとき d ydx = (ⅳ) である.

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 以下の空白(ⅰ)〜(ⅶ)をうめよ.なお,(5)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ.

(3) 循環小数 0. 2 012 =0.201220122012 を分数で表すと (ⅴ) である.

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 以下の空白(ⅰ)〜(ⅶ)をうめよ.なお,(5)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ.

(4)  sin1 sin 2 sin 3 sin 4 を小さい順に並べると (ⅵ) である.ただし角度はラジアンである.

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 以下の空白(ⅰ)〜(ⅶ)をうめよ.なお,(5)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ.

(5) 「 y =ex 」は「 d ydx =e x 」であるための (ⅶ)

(a) 必要十分条件である

(b) 十分条件だが必要条件ではない

(c) 必要条件だが十分条件ではない

(d) 必要条件でも十分条件でもない

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【2】 連続関数 f (x ) f (x )=cos x+ 0x et -x f( t) dt をみたしているとする.

(1)  f (0 ) の値を求めよ.

(2)  f (x ) の導関数 f (x ) を求めよ.

(3)  f (x ) を求めよ.

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【3】 原点を中心とする角 θ の回転移動によって,点 P ( x,y ) が点 Q ( X,Y ) に移るとき,

( XY )= (cos θ- sinθ sinθ cosθ ) (x y )

の関係がある. x 軸に関する対称移動によって点 P ( x,y ) が点 Q ( X,Y ) に移るとき,

( XY )= ( 10 0- 1) ( x y)

の関係がある.

 原点を通り x 軸とのなす角が θ である直線 l に関する対称移動を考える.この対称移動は,原点を中心とする角 - θ の回転移動を行い,次に x 軸に関する対称移動を行い,さらに原点を中心とする角 θ の回転移動を行ったものである.

 このとき次の問に答えよ.

(1) 原点を通り x 軸とのなす角が θ である直線 l に関する対称移動で点 P ( x,y ) が点 P ( x,y ) に移るとする. x y x y および θ を用いて表せ.

(2) 直線 y =x に関する対称移動を表す行列を求めよ.

(3) 直線 y =x に関する対称移動を行い,さらに原点を通るある直線 L に関する対称移動を行ったところ,結果は原点を中心とする角 π6 の回転移動になった.このとき直線 L の方程式を求めよ.

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【4】 不等式 x2+ y2+ 4x 0 の表す領域を A 不等式 x2+ y2- 2y 0 の表す領域を B とする.

(1) 領域 A の境界線と領域 B の境界線の共有点の座標を求めよ.

(2) 和集合 A B を座標平面上に図示せよ.

(3)  θ 0 <θ< π 2 であり cos θ= 35 をみたす実数とする.和集合 A B の面積を θ を用いて表せ.

2012 北見工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【5】 以下の文を読み,その後の問に答えよ.


  M= { 1,2, 3,, 2n- 1,2 n} 1 から 2 n までの自然数全体の集合とする. M をそれぞれ n 個の要素をもつ 2 つの部分集合 P Q に分ける.正確に言うと, P Q は共に n 個の要素をもつ M の部分集合であって, M= P Q であり P Q が空集合となるものである.

  P の要素を小さい方から順に並べて

p1< p2< <p n-1 <pn

とする.また, Q の要素を大きい方から順に並べて

q1> q2> >q n-1 >qn

とする.このとき,次の定理が成り立つ.

定理

|p 1-q 1| +|p 2-q 2|+ +| pn- 1-q n-1 |+ |pn -qn |=n 2

 この定理を証明するために,まず, P Q の要素についてより具体的に調べる. P i 番目の要素 p i Q i 番目の要素 q i について,次の命題が成り立つ.

命題 1i n となるどんな i に対しても, pi q i のうちのどちらかは n +1 以上であり,もう一方は n 以下である.

証明:背理法で証明する.この命題が成り立たないと仮定すると, 1i n となる番号 i があって, pi q i は,両方が n +1 以上であるか,または,両方が n 以下であるかのどちらかである.どちらの場合であっても矛盾が生じる,ということを示す.

(1)  pi n+1 かつ qi n+1 の場合

  n+1 pi <pi +1< <p n-1 <pn なので,集合 P の中には, n+1 以上の要素が少なくとも n -i+1 個ある.また, q1 >q2 >> qi- 1> qi n+1 なので,集合 Q の中には, n+1 以上の要素が少なくとも i 個ある.したがって,

 

(2)  pi n かつ q in の場合

 

<証明終り>

 この命題を用いることにより,以下のように定理を証明することができる.

定理の証明 |p i-q i| は次のように定義されている.

| pi- qi |= { pi -qi pi- qi 0 の場合) -( pi- qi) =qi -pi pi- qi< 0 の場合)

 上の命題より, pi qi のどちらかは n +1 以上であり,もう一方は n 以下である.そこで pi qi のうち, n+1 以上の方を a i とし, n 以下の方を b i と表すことにする.こうすると,全ての i について,

|p i-q i| =an -bi

が成り立つ.

 

<証明終り>


問1:命題の証明の(1)の最後の部分を完成させよ.

問2:命題の証明の(2)の部分を完成させよ.

問3:定理の証明を完成させよ.

inserted by FC2 system