2012 弘前大学 後期理工学部

Mathematics

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2012 弘前大学 後期理工学部

数理科学科

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底である.

(1) 不定積分 e4 xe x+1 dx を求めよ.

(2) 定積分 0π |cos 2x- cosx | dx を求めよ.

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数理科学科

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1) 連立 1 次方程式

{ 2x- y=k x3 x-2 y=k y

x =y=0 以外の解をもつように,定数 k の値を求めよ.

(2)  3 つの行列 A P B

A=( 2 -1 3- 2) P =( 11 ab ) B=( 1 00 -1 )

とする.等式 A P=P B が成り立つように a b の値を定め, An を求めよ.ただし, n は正の整数である.

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易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.

(1)  k は定数とする.直線 k (x -y+3 )=2 x-y +1 と点 ( -1,0 ) の距離を求めよ.

(2) 点 ( x,y ) が不等式 ( x+1) 2+y 2= 1 の表す領域を動くとき, 2 x-y +1x -y+3 の最大値と最小値を求めよ.

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数理科学科

易□ 並□ 難□

【4】 座標平面上に円 C x2 +( y-2) 2=1 と放物線 E y= x2 および E 上の点 P ( t,t2 ) を考える.ただし, -1< t<1 とする. E 上の点 P ( t,t2 ) から C に引いた 2 本の接線が再び E と交わる点を ( α,α 2) ( β,β 2) とする.このとき次の問いに答えよ.

(1)  8α β-5 α-5 β t を用いて表せ.

(2)  8α β- 5α -5β t の関数と考える. -1< t<1 において, 8α β- 5α -5β が極値をとるときの t の値を求めよ.

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【5】 赤球 2 個と白球 3 個が入った袋 A と,赤球 3 個と白球 4 個が入った袋 B がある.それぞれの袋から 2 個ずつ合計 4 個の球を同時に取り出す試行を考える. 1 回の試行ごとに,取り出した球はそれぞれ元の袋に戻し,元の状態にして次の試行をするものとする.

 この試行を 5 回行う.各回の試行で,取り出された赤球の個数が 2 以上ならば◯,そうでないときは×の記号を, 1 回目から順に横一列に記入していく.全部記入した後,◯が 2 個以上続けて現れた場合のみ,記入された◯の総数と同じ枚数の 100 円硬貨をもらえるものとする.もらえる金額を Y 円とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  1 回の試行で◯が記入される確率を求めよ.

(2) もらえる金額 Y 円の期待値を求めよ.