2012　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{e^{4x}}{e^x+1}}dx$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\cos 2x-\cos x|dx$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　連立$1$次方程式

$\{\begin{array}{c}2x-y=kx\\ 3x-2y=ky\end{array}$

が$x=y=0$以外の解をもつように，定数$k$の値を求めよ．

(2)　$3$つの行列$A\text{，}P\text{，}B$を

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& -2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ a& b\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

とする．等式$AP=PB$が成り立つように$a\text{，}b$の値を定め，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数である．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$k$は定数とする．直線$k(x-y+3)=2x-y+1$と点$(-1,0)$の距離を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が不等式${(x+1)}^2+y^2=\leqq 1$の表す領域を動くとき，${\displaystyle \frac{2x-y+1}{x-y+3}}$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+{(y-2)}^2=1$と放物線$E\text{：}y=x^2\text{，}$および$E$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$を考える．ただし，$-1<t<1$とする．$E$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$から$C$に引いた$2$本の接線が再び$E$と交わる点を$(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}(\beta ,{\beta }^2)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$8\alpha \beta -5\alpha -5\beta$を$t$を用いて表せ．

(2)　$8\alpha \beta -5\alpha -5\beta$を$t$の関数と考える．$-1<t<1$において，$8\alpha \beta -5\alpha -5\beta$が極値をとるときの$t$の値を求めよ．

【５】　赤球$2$個と白球$3$個が入った袋$\mathrm{A}$と，赤球$3$個と白球$4$個が入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から$2$個ずつ合計$4$個の球を同時に取り出す試行を考える．$1$回の試行ごとに，取り出した球はそれぞれ元の袋に戻し，元の状態にして次の試行をするものとする．

　この試行を$5$回行う．各回の試行で，取り出された赤球の個数が$2$以上ならば◯，そうでないときは×の記号を，$1$回目から順に横一列に記入していく．全部記入した後，◯が$2$個以上続けて現れた場合のみ，記入された◯の総数と同じ枚数の$100$円硬貨をもらえるものとする．もらえる金額を$Y$円とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回の試行で◯が記入される確率を求めよ．

(2)　もらえる金額$Y$円の期待値を求めよ．