2012　岩手大学　前期MathJax

【１】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}{\mathrm{P}}_1(\sqrt{3},1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(\sqrt{3},0)$をとる．点${\mathrm{P}}_2$から線分${\mathrm{OP}}_1$に引いた垂線と線分${\mathrm{OP}}_1$との交点を${\mathrm{P}}_3$とする．次に，点${\mathrm{P}}_3$から線分${\mathrm{OP}}_2$に引いた垂線と線分${\mathrm{OP}}_2$との交点を${\mathrm{P}}_4$とする．この操作を繰り返すことにより，点${\mathrm{P}}_n$を定める．すなわち，点${\mathrm{P}}_{n-1}$から線分${\mathrm{OP}}_{n-2}$に引いた垂線と線分${\mathrm{OP}}_{n-2}$との交点を${\mathrm{P}}_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　三つの線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の長さをそれぞれ求めよ．

(2)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さを$n$を用いて表せ．

(3)　三つの三角形${\mathrm{OP}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{OP}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{OP}}_3{\mathrm{P}}_4$の面積をそれぞれ求めよ．

(4)　三角形${\mathrm{OP}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$n$を用いて表せ．

(5)　三角形${\mathrm{OP}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$a_n$とおき，

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$

と定義する．$S_n$は$2\sqrt{3}$以上にならないことを証明せよ．

【２】　関数$f(x)=2{\sin }^{2}x+4\sin x+3\cos 2x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0\leqq x<2\pi$である．

(1)　$t=\sin x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をすべて求めよ．

(3)　方程式$f(x)=a$の相異なる解が$4$個であるような実数$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　単位時間あたり一定量の水の出るポンプを使ってプールに水をいれることを考える．以下の問いに答えよ．

(1)　プールに水をいっぱいに入れるのに，ポンプⅠを使うと$2$時間，ポンプⅡを使うと$3$時間かかるとする．ⅠとⅡを同時に使うと何時間かかるか．

(2)　プールに水をいっぱいに入れるのに，ポンプ$\mathrm{A}$を使うと$a$時間，ポンプ$\mathrm{B}$を使うと$b$時間かかるとする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を同時に使うと何時間かかるか．

(3)　プールに水をいっぱいに入れるのに，ポンプ${\mathrm{C}}_1\text{，}$ポンプ${\mathrm{C}}_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする．${\mathrm{C}}_1$と${\mathrm{C}}_2$を同時に使うと，設問(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという．$c$を$a$と$b$を用いて表せ．

(4)　$c$を設問(3)で求めた$a\text{，}b$の式とするとき，不等式${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\geqq c$が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　${\displaystyle \frac{x+y}{5}}={\displaystyle \frac{y+2z}{6}}={\displaystyle \frac{z+3x}{7}}\ne 0$のとき，${\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　半径$1$の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．

【２】　次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$x+2y\leqq 8\text{，}3x+y\leqq 9\text{，}-7x+2y\leqq 0\text{，}y\geqq 0$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$がこの領域$D$内を動くとき，$3x+2y$の最大値を求めよ．

【３ア】　初項が$a_1=-35$である数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，

$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19\text{，}$公差は$4$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．

(2)　自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$24$項までの和を求めよ．

【３イ】　$\angle \mathrm{BAC}=90\mathrm{°}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，辺$\mathrm{BC}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{CM}$との交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s\text{，}\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}$とする．線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{CM}$が直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．

【４カ】　$3$次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$のとき，$f(x)\geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．

【４キ】　実数$t>0$に対して積分

$I(t)={\displaystyle {\int }_{-4}^{4t-4}}(x-4)\sqrt{x+4}dx$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$I(t)$を$t$で表せ．

(2)　$I(t)$の$t>1$における最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}(e^{\frac{1}{n}}+2e^{\frac{2}{n}}+3e^{\frac{3}{n}}+\cdots +n{e}^{\frac{n}{n}})$

【２】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,2)\text{，}\mathrm{C}(2,0,2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線をおろし，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$は平面$\mathrm{ABC}$上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{（}r+s+t=1\text{）}$と表すことができる．このとき，$r\text{，}s\text{，}t$を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

(5)　球$P$が四面体$\mathrm{OABC}$のすべての面に接している．このとき，球$P$の半径を求めよ．

【３】　$f(x)=x^3-3x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(2,2)$を通るものの方程式をすべて求めよ．

(3)　点$(2,t)$から曲線$y=f(x)$に$3$本の接線が引けるとき，$t$の値の範囲を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

(2)　$n$を自然数とし，$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$とするとき，$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)$を求めよ．

(3)　$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_n$の座標を，設問(2)で定めた$(x_n,y_n)$とする．原点$\mathrm{O}$を中心とし，${\mathrm{OP}}_n$を半径とする円の面積を$S_n$とするとき，$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$を求めよ．

(4)　設問(3)で定めた$S_n$について，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\beta }}+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha }}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式${\log }_9(x+4)={\log }_3(2x-7)+{\log }_5{\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{5}}}$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B$で表すとき，$\cos A={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}\cos B={\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは${\displaystyle \frac{38}{5}}$であるとする．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．

(1)　$a<b<c<d$となる確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．

【３ア】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$s$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．

【３イ】　$a_3=4\text{，}{a}_8=3$である等差数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$および$a_{99}$を求めよ．

(2)　$99$個の項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{99}$のうち，整数となるものの個数を求めよ．

(3)　$99$個の項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{99}$のうち，整数でないものすべての和を求めよ．

【４】　$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x\text{，}g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1\text{，}$曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a\text{，}b$は定数である．

　関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．

　さらに，$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$\sin 3\theta$を$\sin \theta$で表せ．

(2)　$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．

(3)　関数$y=-8{\sin }^3\theta +6\sin \theta -3\cos \theta +4{\cos }^3\theta +1$の${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．