2012　岩手大学　後期工学部MathJax

2012-10061-0201

2012　岩手大学　後期工学部

易□　並□　難□

【１】

(1)　四面体 $ABCD$ において， $▵ ACD$ の重心を $F ， ▵ BCD$ の重心を $G ，$ 線分 $FG$ を $1 : 2$ に内分する点を $H$ とするとき， $\vec{AH}$ を $\vec{AB} ， \vec{AC} ， \vec{AD}$ で表せ．

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易□　並□　難□

【１】

(2)　 $0 ≦ x ≦ π$ のとき，方程式

$\sin x + \sin 3 x = \cos x + \cos 3 x$

を満たす $x$ をすべて求めよ．

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易□　並□　難□

【１】

(3)　定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ を求めよ．

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(4)と(5)から１題選択

易□　並□　難□

【１】

(4)　 ${(\frac{1 + \sqrt{3} i}{\sqrt{3} + i})}^{26}$ を求めよ．ただし， $i$ は虚数単位とする．

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(4)と(5)から１題選択

易□　並□　難□

【１】

(5)　行列 $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ について， $A^{n} = 1024 E$ を満たす自然数 $n$ を求めよ．ただし， $E$ は $2$ 次の単位行列とする．

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易□　並□　難□

【２】　関数 $f (x) = x - a e^{x}$ について，次の問いに答えよ．ただし， $a > 0$ とする．

(1)　 $x ≧ 0$ における $f (x)$ の最大値を $a$ で表せ．

(2)　不定積分 $\int x e^{2 x} d x$ を求めよ．

(3)　 $a = \int_{0}^{1} f (x) e^{2 x} d x$ を満たすように， $a$ の値を定めよ．

(4)　 $a = 1$ のとき，曲線 $y = f (x) + 1$ と $x$ 軸および直線 $x = 1$ で囲まれた図形の面積を求めよ．