2012　東北大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の実数とし，$a\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．曲線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$と$\mathrm{Q}(a,a^2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$l$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線と直交する直線を$m$とする．$l$と$m$の交点が$C$上にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$2$直線$l\text{，}m$と曲線$C$で囲まれた図形のうちで$y$軸の右側の部分の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=|2{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin x+\sqrt{3}\cos x-{\displaystyle \frac{5}{4}}|$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$t=-\sin x+\sqrt{3}\cos x$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表せ．

(2)　$x$が$0\leqq x\leqq 90\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$x$が$0\leqq x\leqq 90\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$f(x)$が最大値をとる$x$は，$60\mathrm{°}<x<75\mathrm{°}$を満たすことを示せ．

【３】　袋$\mathrm{A}\text{，}$袋$\mathrm{B}$のそれぞれに，$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)　$N=4$とする．袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元に戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1\text{，}X=2\text{，}X=3\text{，}X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また，$X$の期待値を求めよ．

(2)　$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

【４】　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$が

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たすとする．ただし，記号$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．

(1)　実数$p\text{，}q$に対して，$\overrightarrow{c}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の条件

$\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\text{，}p>0$

を満たす実数$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$が

$-1\leqq \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x}\leqq 1\text{，}1\leqq \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{x}\leqq 2$

を満たすとき，$\left|\overrightarrow{x}\right|$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　$s\text{，}t$を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x=s+t+1\text{，}y=s-t-1$とおく．$s\text{，}t$が$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0$の範囲を動くとき，点$(x,y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．

(2)　$x=st+s-t+1\text{，}y=s+t-1$とおく．$s\text{，}t$が実数全体を動くとき，点$(x,y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．

【２】　$m$を実数とする．座標平面上で直線$y=x$に関する対称移動を表す$1$次変換を$f$とし，直線$y=mx$に関する対称移動を表す$1$次変換を$g$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$1$次変換$g$を表す行列$A$を求めよ．

(2)　合成変換$g\circ f$を表す行列$B$を求めよ．

(3)　$B^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$となる$m$をすべて求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq \pi$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\cos |t-x|}{1+\sin |t-x|}}dt$

と定める．$f(x)$の$0\leqq x\leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

【５】　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円周$C$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは一致していないとする．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{BPQ}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるようにとり，線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$y$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$y$を$x$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を除いた円周$C$上を動くとき，$y$が最大となる$x$を求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3a_n+4}{2a_n+3}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$a_n>1$となることを示せ．

(2)　${\alpha }^2={\displaystyle \frac{3\alpha +4}{2\alpha +3}}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ．

(4)　$0<r<1$を満たすある実数$r$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{\alpha -a_{n+1}}{\alpha -a_n}}\leqq r\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．さらに，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部