2012 秋田大学 前期

Mathematics

Examination

Test

Archives

2012 秋田大学 前期

教育文化学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(ⅰ) グラフが 3 ( -2,46 ) ( 3,-4 ) (5 ,4) を通る 2 次関数 y =f( x) を求めよ.

(ⅱ) (ⅰ)の 2 次関数 y =f( x) のグラフと直線 y =-2 x+6 2 つの交点の座票を求めよ.

(ⅲ) (ⅱ)の 2 つの交点の x 座票をそれぞれ p q とする.ただし, p<q とする. a を定数とするとき, 2 次関数 y =-x2 +2 ax+ 3-a2 p x q における最大値を求めよ.

2012 秋田大学 前期

教育文化学部

医学部【1】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 大小 2 個のさいころを投げて,出る目をそれぞれ a b とする.この a b に対し, f( x) =x2 -ax +b とおく.次の問いに答えよ.

(ⅰ) 方程式 f (x )=0 が,実数解をもつ確率を求めよ.

(ⅱ) 方程式 f (x )=0 が,整数の解を少なくとも 1 つもつ確率を求めよ.

2012 秋田大学 前期

教育文化学部

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を中心とし,半径が r である円に内接する ABC について, 3 AB BC CA をそれぞれ 2 :1 に内分する点を A B C とする. OA =a OB = b OC = c とおく.次の問いに答えよ.

(ⅰ)  r と内積 a b を用いて | OA |2 を表せ.

(ⅱ)  3 A B C を通る円の中心が点 O と一致するとき, ABC が正三角形であることを示せ.

2012 秋田大学 前期

工学資源学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(ⅰ)  g m n を実数とし, g=2 702+m 1200 126 g12= 21200 +n1200 とする.

  g4 =5 となる m を求めよ.ただし, log2 5=2.32 として計算せよ.

  m を用いて n を表せ.

(ⅱ) 定積分 01200 21200 +x1200 dx を求めよ.

2012 秋田大学 前期

工学資源学部

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )= ex について,次の問いに答えよ.

(ⅰ) 原点から y =f( x) のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.

(ⅱ) (ⅰ)の接線の接点を P1 とする.点 P1 から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を A1 ( a1, 0) とする.このとき,点 A1 から y =f( x) のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ.

(ⅲ) (ⅱ)の接線の接点を P2 とする.点 P2 から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を A2 ( a2, 0) とする.このとき,点 A2 から y =f( x) のグラフへ接線を引き,その接点を P3 とする.さらに,点 P3 から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を A3 ( a3, 0) とする.このようにして,次々に x 軸上の点 A1 ( a1, 0) A 2( a2, 0) A 3( a3, 0) を得る.このとき,数列 a1 a 2 a 3 の一般項 a n を推定し,その推定が正しいことを数学的帰納法で照明せよ.

2012 秋田大学 前期

工学資源学部

易□ 並□ 難□

【3】 平面上の相異なる 3 O A B に対して, OA =a OB =b とし, p =a +2 b q = -a +2 b 4 とする.また, p =OP q =OQ であるような 2 P Q をとる. |p | =4 | q |=1 であるとき,次の問いに答えよ.

(ⅰ)  |a | =|b | のとき,内積 p b を求めよ.

(ⅱ)  2 A B を通る直線と, 2 P Q を通る直線が直交するとき,内積 p q を求めよ.

(ⅲ)  OAB の面積が最大になるとき, p q のなす角 θ を求めよ.

2012 秋田大学 前期

医学部

教育文化学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 大小 2 個のさいころを投げて,出る目をそれぞれ a b とする.この a b に対し, f( x) =x2 -ax +b g (x )=x 3-( a+b) x2 +(a +1) bx -b2 とおく.次の問いに答えよ.

(ⅰ) 方程式 f (x )=0 が,実数解をもつ確率を求めよ.

(ⅱ) 方程式 f (x )=0 が,整数の解を少なくとも 1 つもつ確率を求めよ.

(ⅲ) 方程式 g (x )=0 が,異なる整数の解をちょうど 2 個もつ確率を求めよ.

2012 秋田大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【2】 円 C1 x2+ y2= 25 と円 C2 (x -10) 2+ (y -5) 2=50 2 つの交点と原点を通る円を C 3 とする.次の問いに答えよ.

(ⅰ) 円 C 3 の中心と半径を求めよ.

(ⅱ) 点 P ( x,y ) が円 C 3 上を動くとき, 2y -x の最大値を求めよ.

(ⅲ) 円 C 1 と円 C 2 2 つの交点を通る円の中心の軌跡を求めよ.

(ⅳ) 円 C 1 と円 C 2 2 つの交点を通る円を C とする.点 Q ( x,y ) が円 C 上を動くとき, 2y -x の最大値が最小となる円 C の中心と半径を求めよ.

2012 秋田大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【3】  f( x)= 3 3 4- sin2 x g (x) = 33 4- 2cos x とする.次の問いに答えよ.

(ⅰ) 関数 { f( x)} 2- {g (x) }2 の不定積分を求めよ.

(ⅱ) すべての実数 x に対して,不等式 sin 2x a-2 cosx が成り立つような定数 a の中で最小の値を求めよ.

(ⅲ) 定積分 0π | {f (x) }2 -{ g( x)} 2| dx を求めよ.