2012　秋田大学　前期MathJax

【１】　$a$は$a>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．

(ⅱ)　$2$次不等式$f(x)\geqq x$を解け．

(ⅲ)　$x$が$f(x)\geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(-2,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,3)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(ⅲ)　$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{OM}\perp \mathrm{BC}$となるように点$\mathrm{M}$をとる．$\mathrm{AM}:\mathrm{MB}$を求めよ．

【３】　$k$を実数とする．$xy$平面上の放物線$C\text{：}y=x^2+2x-2$と直線$l\text{：}y=kx$が異なる$2$点で交わるとし，交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，$\alpha <\beta$である．$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${(\beta -\alpha )}^2$を$k$の式で表せ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$であることを示せ．

(ⅲ)　$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．

【２】　平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2$と

$\overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たす．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

(ⅲ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{Q}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{17}{16}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たすとき，$\mathrm{Q}$が四角形$\mathrm{OABC}$の内部にあることを示せ．

【３】　$f(x)=\sqrt{2x-x^2}\text{，}g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の定義域を求めよ．

(ⅱ)　$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅲ)　$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　実数$x\text{，}y$について，

$4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7$

の最小値，およびそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(ⅱ)　$a$を負の実数とする．

$4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7=a$

を満たす$x\text{，}y$が隣り合う整数のとき，$a$の最大値，およびそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$\theta$が

${\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}-{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}=a$

を満たしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <45\mathrm{°}$とする．

(ⅰ)　$\cos \theta -\sin \theta$を$a$で表せ．

(ⅱ)　$a={\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき，$\theta$と$25\mathrm{°}$の大小を比べよ．