2012　山形大学　前期MathJax

【１】　単位円の円周を$6$等分する点を時計回りの順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5\text{，}{\mathrm{P}}_6$とする．さいころを投げて出た目$i$と点${\mathrm{P}}_i$を対応させる．さいころを$3$回投げて出た目が全て異なる場合は対応する点を結ぶと三角形ができる．次の問に答えよ．

(1)　$▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_5$と$▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_5$の面積をそれぞれ求めよ．

(2)　さいころを$3$回投げて，三角形ができる確率を求めよ．

(3)　さいころを$3$回投げて，二等辺三角形（ただし正三角形は除く）ができる確率を求めよ．

(4)　さいころを$3$回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ．

【２】　$2$曲線$C_1\text{：}y={(x-a)}^2\text{（}a\geqq 0\text{），}{C}_2\text{：}y=-x^2+b\text{（}b\geqq 0\text{）}$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a=1\text{，}b=1$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　$a=1\text{，}b=0$のとき，$C_1$と$C_2$の共通接線を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$が共有点を$1$つだけもつための条件を$a\text{，}b$で表せ．

(4)　(3)の条件のもとでの$C_1$と$C_2$の共有点の軌跡を求めよ．

【３】　正の整数からなる数列$\{a_n\}$が$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$n({\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}})<2\text{，}2+{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}<(n+1)({\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}})$

を満たし，かつ$a_2=2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_3$を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを証明せよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}}$を求めよ．

【１】　$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は曲線$y={\displaystyle \frac{1}{k}}{x}^2$上にあり，かつ$▵\mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$▵\mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　円$S$の方程式を求めよ．

(3)　$T$を中心$\mathrm{D}(3k,-2k)\text{，}$半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ$2$本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$0<a\leqq 1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=-x^2+1$と曲線$y=-{(x-a)}^2+1$の交点の座標を求めよ．

(2)　$x$軸，$y$軸および曲線$y=x^2+1\text{（}x\geqq 0\text{）}$で囲まれた図形を$A$とし，$x$軸，直線$x=a$および曲線$y=-{(x-a)}^2+1\text{（}x\leqq a\text{）}$で囲まれた図形を$B$とする．このとき，$A$と$B$の共通部分の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$S(a)=S(1)$を満たす$a$の値を求めよ．ただし$0<a<1$とする．

(4)　$S(a)$の最大値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^3}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2$を求めよ．

(2)　$0<r<1$とし，$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +n{r}^{n-1}$とおく．

(ⅰ)　$S_n-r{S}_n$を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{S}_n$を求めよ．

(3)　$a>0\text{，}b>0$に対して，不等式

$a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{3^{2(k-1)}}}+{\displaystyle \frac{k^4}{n^6}}}$を求めよ．

【４】　$2$次正方行列

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1+3\sqrt{3}}{2}}& -\sqrt{3}\\ {\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1-3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$

について，次の問に答えよ．

(1)　$A\text{，}B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1}\text{，}{B}^{-1}$を求めよ．

(2)　$B^{-1}{A}^{-1}B\text{，}{(B^{-1}{A}^{-1}B)}^3$を求めよ．

(3)　$A^{7}BX=B$をみたす$2$次正方行列$X$を求めよ．

(4)　(3)の行列$X$について

$E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O$

が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は零行列とする．

【１】　関数$f(x)=-x^2+3$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．原点$\mathrm{O}$及び点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S(a)$を求めよ．ただし，$a>0$とする．

(3)　$a$の関数$S(a)$（ただし，$a>0$）の増減表を書け．増減表には，増減のほか，極値と凹凸についても明示すること．

(4)　曲線$z=S(a)$（ただし，$a>0$）のグラフの概形を描け．

【２】　関数$f(x)=(1-x)e^{-x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$に対して

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$の範囲で$F(x)$の最大値を求めよ．

(3)　$x\geqq 0$に対して

$G(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|f(t)|dt$

を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x+y+z=4\text{，}yz+zy+xy=6\text{，}xyz=9$のとき，${\displaystyle \frac{y+z}{x}}+{\displaystyle \frac{z+x}{y}}+{\displaystyle \frac{x+y}{z}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(-1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0)$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$がある．$▵\mathrm{ABC}$の面積が直線$y=\sqrt{3}x+b$で二等分されるように，定数$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$xyz$空間において，点$(1,2,1)$を中心とする球面$S$が，平面$z=4$に接している．球面$S$の方程式を求めよ．

【２】　$xy$平面上の直線$l\text{：}y=2x$と曲線$C\text{：}y=a{x}^2+1$について，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$である．

(1)　直線$l$と曲線$C$が接している．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$y$軸，直線$l$および曲線$C$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$C$が$2$つの交点をもつとき，交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．

(ⅰ)　$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$\alpha \text{，}\beta$をそれぞれ$a$の式で表せ．

(ⅲ)　$\underset{a\to +0}{\lim }\alpha \text{，}\underset{a\to +0}{\lim }\beta$を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OI}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DI}}$を示せ．

(4)　線分$\mathrm{FG}$の中点を$\mathrm{J}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{DJ}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{DE}}+\overrightarrow{\mathrm{DI}})\text{，}\overrightarrow{\mathrm{FJ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{FJ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DI}}$を示せ．

(5)　四面体$\mathrm{FDEI}$の体積を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が$ax-b^2=d\text{，}d\ne 0$を満たしている．$xy$平面上において，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$(1,\sqrt{3})$が点$(d,\sqrt{3}d)$に移されるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}d+3& \sqrt{3}(d-1)\\ \sqrt{3}(d-1)& 3d+1\end{array}\right)$を示せ．

(2)　$f$によって，直線$x+\sqrt{3}y=0$上の任意の点は，自分自身に移されることを示せ．

(3)　$f$によって，$xy$平面上の任意の点$\mathrm{P}$は，傾きが$\sqrt{3}$で点$\mathrm{P}$を通る直線上の点に移されることを示せ．

【１】　袋の中に$1$から$8$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$枚のカードが入っている．袋の中からカードを$1$枚取り出して，もとに戻すという操作を$4$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目，$4$回目に取り出したカードに書かれていた数をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a+b+c+d=6$となる確率を求めよ．

(2)　積$abcd$が奇数となる確率を求めよ．

(3)　$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となる確率を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{ab}}+{\displaystyle \frac{2}{cd}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる確率を求めよ．

（編注）2019年宇都宮大　前期【１】で改変して活用

【２】　数列$\{a_n\}$が条件

$a_1=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{a}_{n+1}={a_n}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められている．このとき，次の問に答えよ．

(1)　不等式$-{\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq a_n<0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(2)　不等式$a_{2n-1}<a_{2n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　不等式$a_{2n}>a_{2n+2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(4)　不等式

$0<a_{2n}-a_{2n-1}\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2(n+1)}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

【３】　自然数$n$に対して

$S(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}{x}^{2k-2}\text{，}R(x)={\displaystyle \frac{{(-1)}^n{x}^{2n}}{1+x^2}}$

とする．さらに

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　等式${\displaystyle {\int }_0^1}S(x)dx={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}{\displaystyle \frac{1}{2k-1}}$が成り立つことを示せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$の値を求めよ．

(3)　等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ．

(4)　不等式$|{\displaystyle {\int }_0^1}R(x)dx|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$が成り立つことを示せ．

(5)　無限級数$1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots$の和を求めよ．