2012　福島大学　後期

【１】　次の連立方程式を満たす$x\text{，}y$について，$x+y\text{，}xy$の値をそれぞれ求めなさい．

$\{\begin{array}{l}{2}^x+3^y=5\\ 2^x\cdot 3^y=6\end{array}$

【２】　$0\leqq \theta <\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．

$\cos 4\theta -2\cos 3\theta +\cos 2\theta =0$

【３】　平面上の曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{k}{x}}\text{（}k>0\text{）}$と直線$l\text{：}y=ax+b$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$a>0$ならば，$C$と$l$は異なる$2$点で交わることを示しなさい．

(2)　$a<0$であるとき，$C$と$l$が異なる$2$点で交わるような$b$の範囲を求めなさい．

(3)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と$l$が異なる$2$点で交わるような$(a,b)$の領域を求め，座標平面上に図示しなさい．

【４】　$x={\log }_{10}\sqrt{7+4\sqrt{3}}$のとき，$({10}^x+{10}^{-x})({10}^x-{10}^{-x})$の値を求めなさい．

【５】　点$\mathrm{P}$は$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$のグラフ上の点とする．点$\mathrm{O}$を原点，点$\mathrm{Q}$を$(2,2)$とする．$\angle \mathrm{POQ}$が$120\mathrm{°}$となるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{O}$を通る直線の方程式を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　${\log }_{\frac{1}{4}}6+{\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{21}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}56+2{\log }_{4}12$を簡単にしなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }({\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}})dx$を求めなさい．

【２】　次の方程式を満たす実数$x$の値をすべて求めなさい．

(1)　$x^2-4|x-2|+3=0$

【２】　次の方程式を満たす実数$x$の値をすべて求めなさい．

(2)　$x=\sqrt{2+\sqrt{x^2-2}}$

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$の二等辺三角形で，$\angle \mathrm{CAB}=2\theta (0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$であるとする．点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{AB}$に垂線をおろしたときの交点を$\mathrm{H}$とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{BC}$の長さを$\sin \theta$を用いて表しなさい．

(2)　三角形$\mathrm{CHB}$に着目し，線分$\mathrm{CH}$の長さを$\sin \theta \text{，}\cos \theta$を用いて表しなさい．

(3)　線分$\mathrm{AH}$の長さが$\cos 2\theta$と表されることに注意して，$\cos 2\theta$を$\sin \theta$を用いて表しなさい．

【４】　数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．サイコロを投げて，$3$の倍数の目が出たら正の向きに$2$だけ，それ以外の目が出たら負の向きに$3$だけ，点$\mathrm{P}$を動かす．サイコロを$5$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めなさい．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{ax}{x^2+ax+4}}\text{（}a\ne 0\text{）}$の定義域が実数全体であるとする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　定数$a$が満たすべき範囲を求めなさい．

(2)　$f(x)$の最小値が$1-a$となったとする．このとき，$a$の値を求め，$f(x)$の最大値および最小値を求めなさい．

【６】　以下の漸化式で定義される数列$\{b_n\}$について，次の問いに答えなさい．

$b_0=2\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}{b}_{n+1}=\sqrt{2+b_n}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_1=2\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$であることを示しなさい．

(2)　任意の自然数$N$に対して，$b_N=2\cos (2^{-N}\theta )$であることを数学的帰納法を用いて示しなさい．

(3)　$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos h}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを用いて，$b_0=0\text{，}$すなわち$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときの$\underset{N\to \infty }{\lim }\sqrt{{\displaystyle \frac{2-b_{N-1}}{{(2^{-N})}^2}}}$の値を求めなさい．