2012　茨城大学　前期MathJax

【１】　$k$を実数とする．$x$についての方程式$2^{x+k}-4^x-2^3=0$の実数解について，次の各問に答えよ．

(1)　解が存在するときの$k$の条件を求めよ．

(2)　正の解と負の解それぞれの個数を求めよ．

【２】　実数$x\text{，}y$に対して，$x*y$を$x*y=x+y+xy$により定義する．次の各問に答えよ．

(1)　実数$p\text{，}y\text{，}r$に対して$p*(q*r)-(p*q)*r$を求めよ．

(2)　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=a_n*2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$は$a_n=3^n-1$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　実数$p$に対して$b_1=p\text{，}{b}_{n+1}=b_n*2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められた数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4)$がある．点$\mathrm{P}$が単位円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上を動くとき，次の各問に答えよ，

(1)　$▵\mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　点$\mathrm{O}$を座標平面の原点とする．$a\text{，}b$を正の実数とする．放物線$C_1\text{：}y=a{x}^2$と放物線$C_2\text{：}y=-{(x-b)}^2+{\displaystyle \frac{5}{16}}$は，共に，点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$において直線$l$に接しているとする．直線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{R}(x_0,0)$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(2)　線分の長さの比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QR}$を求めよ，

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．$x$軸と$C_1$と$x\leqq x_0$の部分の$C_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\{{\left({\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)}^{n-1}\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定義する．次の各問に答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，次の漸化式が成り立つように実数$p\text{，}q$を定めよ．

$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$

(3)　$a_n$が奇数なら$a_{n+3}$も奇数となり，$a_n$が偶数なら$a_{n+3}$も偶数となることを示せ．

【２】　すべての実数$t$に対して関数$f(t)\text{，}g(t)$を

$f(t)=e^t-e^{-t}\text{，}g(t)=e^t+e^{-t}$

と定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の各問に答えよ．

(1)　すべての$t$に対して$g(t)\geqq 2$であることを示せ．

(2)　$f(t)$は単調増加であることを示せ．

(3)　$x=f(t)\text{，}s=e^t$とするとき，$s$を$x$を用いて表せ．

(4)　$x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ．

(5)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ．

(6)　座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線

$x=f(t)\text{，}y=g(t)$

を考える．この曲線を，媒介変数$t$を消去して，$x\text{，}y$に関する方程式で表せ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^1}{t}^n{e}^{-t}dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の各問に答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$のとき$t^n\leqq t$であることを用いて

$a_n\leqq {\displaystyle \frac{a_1}{n!}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(4)　$a_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{1}{e(n+1)!}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}})$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+x+3}-x)$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　関数$y={(x-2)}^8{(2x+3)}^6$を微分せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(3)　次の定積分を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

• (ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3x+1}}}dx$
• (ⅱ)　${\displaystyle {\int }_2^{2e}}{\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{x}{2}}dx$

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　$2x^{2}y+5x{y}^2-6x^2+2y^3-6y^2-15xy$を因数分解せよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　$p\text{，}q$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+p{x}^2+qx+6=0$の$1$つの解が$x={\displaystyle \frac{2}{1-i}}$であるとき，$p\text{，}q$の値と他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　実数$a\text{，}b$に関する命題「$a+b<0$ならば，$a<0$または$b<0$」を命題$\mathrm{P}$とする．

(ⅰ)　命題$\mathrm{P}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(ⅱ)　命題$\mathrm{P}$の逆を命題$\mathrm{Q}$とする．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

【３】　$a$を実数の定数として，$f(x)=x{(x-a)}^2$とおく．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．

(2)　$a\ne 0$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．さらに，$S(a)={\displaystyle \frac{1}{3}}$となる$a$の値をすべて求めよ．

【４】　奇数の列$1\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots$を次のように群に分ける．

$\begin{array}{ccccccccc}1& |& 3,5& |& 7,9,11,13& |& 15,17,19,21,23,25,27,29& |& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \text{第}4\text{群}& & & \end{array}$

ここで，一般に第$n$群は$2^{n-1}$個の項からなるものとする．以下の各問に答えよ．

(1)　第$7$群の小さい方から$10$番目の項を求めよ．

(2)　$555$は第何群の小さい方から何番目の項であるかを求めよ．

(3)　第$n$群に含まれるすべての項の和を求めよ．