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2012-10161-0201
2012 茨城大学 後期
教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b は実数で, a≠0 とする.関数 y =a⁢ ( log2⁡ x) 2+b ⁢log2 ⁡ x 4 について,次の各問に答えよ.
(1) t=log 2⁡x とおいて y を t を用いて表せ.
(2) 1≦x ≦2 のときの y の最大値を a , b を用いて表せ.
2012-10161-0202
【2】 次の各問に答えよ.
(1) 自然数 n について, n2 が 10 の倍数であることは n が 10 の倍数であるための必要十分条件であることを示せ.
(2) 自然数 m , n に対して m ⁢2+ n⁢5 は無理数であることを示せ.
2012-10161-0203
【3】 k を実数とし, f⁡( x)= x3- 10⁢x 2+k ⁢x とする.曲線 y =f⁡( x) は x 軸と 3 点 A ,B , C で交わり,点 B は線分 AC を 1 :2 に内分しているとする.ただし,点 A の x 座標は点 C の x 座標より小さいとする.次の各問に答えよ.
(1) 実数 k の値を求めよ.
(2) 0≦x ≦15 での f ⁡(x ) の最大値は 0 であるとする.このとき 0 ≦x≦15 での f ⁡(x ) の最小値を求めよ.
2012-10161-0204
【4】 次の各問に答えよ.
(1) 1000 以下の自然数で 4 , 5 ,6 の少なくともひとつで割り切れるものの個数を求めよ.
(2) n 以上 1000 以下の自然数で 4 でも 5 でも 6 でも割り切れないものの個数が 100 個となるときの自然数 n の値を求めよ.
2012-10161-0205
理(数学科)学部
【1】 関数
f⁡( x)= log ⁡xx 2 ( x> 0 )
を考える.ただし,対数は自然対数であり,自然対数の底を e とする.次の各問に答えよ.
(1) f ′⁡( x) と f ″⁡( x) を求めよ.
(2) 関数 y =f⁡( x) の極値と変曲点を求めよ.
(3) 定積分 ∫ 1e f⁡( x)⁢ dx を求めよ.
2012-10161-0206
【2】 曲線 C :y= sin⁡x 上の点 P ( a,sin⁡ a) における C の接線を t a とする.また, P において t a と直交する直線を l a とする.次の各問に答えよ.
(1) ta の方程式を求めよ.
(2) la の方程式を求めよ.
(3) C と l a との交点は P のみであることを示せ.
2012-10161-0207
【3】 1 から 7 までの各数字を 1 つずつ記入した 7 枚のカードの入った袋を用意し,カードを 1 枚取り出す試行を 3 回繰り返す.ただし,各試行で取り出したカードは袋へ戻さないものとする.取り出された順にカードを左から右に 1 列に並べて 3 桁の数字をつくる.次の各問に答えよ.
(1) 2 の倍数ができる確率を求めよ.
(2) 9 の倍数ができる確率を求めよ.
(3) 2 または 9 の倍数ができる確率を求めよ.
2012-10161-0208
理(物理学科)学部
【1】 実数 x を変数とする次の関数
F⁡( x)= ∫ 0x 12⁢t⁢ (t- 1)⁢ (t- x)⁢ dt
を考える.次の各問に答えよ.
(1) F⁡( x) の導関数 F ′⁡( x) を求めよ.
(2) 関数 y =F⁡( x) について,極値,凹凸などを調べて,そのグラフをかけ.
2012-10161-0209
【2】 c を正の数とし, 2 つの放物線 C1 :y= (x -1) 2+c および C2: y=-x 2 を考える. C1 と C 2 の両方に接する直線で傾きが正であるものを l とする.また, l と C 1 との接点を P ( p,( p-1) 2+c ), l と C 2 との接点を Q ( q,-q 2) とする.次の各問に答えよ.
(1) c の値によらず, p+q が一定であることを示せ.
(2) c が正の数全体を動くとき,点 P の軌跡を求めよ.
2012-10161-0210
工学部
【1】 以下の各問に答えよ.
(1) 500 円硬貨 1 枚と 100 円硬貨 3 枚を同時に投げ,表が 3 枚以上出たら,その表の出た硬貨を全部もらえるゲームがある. 1 回のゲームで,受け取る金額の期待値を求めよ.
2012-10161-0211
(2) x ,y についての連立方程式 { 3⁢x +5⁢y =-p⁢ x 4 ⁢x+9 ⁢y=p ⁢y が, x=0 , y=0 以外の解をもつような定数 p の値をすべて求めよ.
2012-10161-0212
(3) 次の関数を微分せよ.ただし,対数は自然対数であり, e は自然対数の底である.
2012-10161-0213
(4) 次の定積分を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.
2012-10161-0214
(5) 次の極限値を求めよ.
limn →∞ 1+2+ 3+⋯+ n1+ 5+9+ ⋯+( 4⁢n- 3)
2012-10161-0215
(6) 4 点 A ( 1,-2 ,0) ,B ( 5,1, 0) ,C ( -1,0 ,0) ,D ( 2,0, 4) を頂点とする四面体 ABCD の体積を求めよ.
2012-10161-0216
(7) 3 3-3 の整数部分を a , 小数部分を b とするとき, a2 -b2 -a-b の値を求めよ.
2012-10161-0217
(8) 連立不等式 x -y-3 ≦0 ,3 ⁢x-y +6≧0 , x+2 ⁢y-12 ≦0 が表す領域を D とする.点 ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, x2 +y2 +8⁢x -2⁢y の最大値を求めよ.
2012-10161-0218
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【2】 a を実数の定数とする. 2 つの関数 f ⁡(x )= x2- (a- 2)⁢ x+2 , g⁡ (x )=- x2+ 2⁢x+ a-2 について,以下の各問に答えよ.
(1) すべての実数 x に対して, f⁡( x)> g⁡( x) が成り立つような a の値の範囲を求めよ.
(2) すべての実数 x1 ,x2 に対して, f⁡( x1) >g⁡( x2 ) が成り立つような a の値の範囲を求めよ.