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2012 茨城大学 後期

教育学部

易□ 並□ 難□

【1】  a b は実数で, a0 とする.関数 y =a ( log2 x) 2+b log2 x 4 について,次の各問に答えよ.

(1)  t=log 2x とおいて y t を用いて表せ.

(2)  1x 2 のときの y の最大値を a b を用いて表せ.

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教育学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の各問に答えよ.

(1) 自然数 n について, n2 10 の倍数であることは n 10 の倍数であるための必要十分条件であることを示せ.

(2) 自然数 m n に対して m 2+ n5 は無理数であることを示せ.

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教育学部

易□ 並□ 難□

【3】  k を実数とし, f( x)= x3- 10x 2+k x とする.曲線 y =f( x) x 軸と 3 A B C で交わり,点 B は線分 AC 1 :2 に内分しているとする.ただし,点 A x 座標は点 C x 座標より小さいとする.次の各問に答えよ.

(1) 実数 k の値を求めよ.

(2)  0x 15 での f (x ) の最大値は 0 であるとする.このとき 0 x15 での f (x ) の最小値を求めよ.

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教育学部

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【4】 次の各問に答えよ.

(1)  1000 以下の自然数で 4 5 6 の少なくともひとつで割り切れるものの個数を求めよ.

(2)  n 以上 1000 以下の自然数で 4 でも 5 でも 6 でも割り切れないものの個数が 100 個となるときの自然数 n の値を求めよ.

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理(数学科)学部

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【1】 関数

f( x)= log xx 2 x> 0

を考える.ただし,対数は自然対数であり,自然対数の底を e とする.次の各問に答えよ.

(1)  f ( x) f ( x) を求めよ.

(2) 関数 y =f( x) の極値と変曲点を求めよ.

(3) 定積分 1e f( x) dx を求めよ.

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理(数学科)学部

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【2】 曲線 C y= sinx 上の点 P ( a,sin a) における C の接線を t a とする.また, P において t a と直交する直線を l a とする.次の各問に答えよ.

(1)  ta の方程式を求めよ.

(2)  la の方程式を求めよ.

(3)  C l a との交点は P のみであることを示せ.

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理(数学科)学部

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【3】  1 から 7 までの各数字を 1 つずつ記入した 7 枚のカードの入った袋を用意し,カードを 1 枚取り出す試行を 3 回繰り返す.ただし,各試行で取り出したカードは袋へ戻さないものとする.取り出された順にカードを左から右に 1 列に並べて 3 桁の数字をつくる.次の各問に答えよ.

(1)  2 の倍数ができる確率を求めよ.

(2)  9 の倍数ができる確率を求めよ.

(3)  2 または 9 の倍数ができる確率を求めよ.

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理(物理学科)学部

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【1】 実数 x を変数とする次の関数

F( x)= 0x 12t (t- 1) (t- x) dt

を考える.次の各問に答えよ.

(1)  F( x) の導関数 F ( x) を求めよ.

(2) 関数 y =F( x) について,極値,凹凸などを調べて,そのグラフをかけ.

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理(物理学科)学部

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【2】  c を正の数とし, 2 つの放物線 C1 y= (x -1) 2+c および C2 y=-x 2 を考える. C1 C 2 の両方に接する直線で傾きが正であるものを l とする.また, l C 1 との接点を P ( p,( p-1) 2+c ) l C 2 との接点を Q ( q,-q 2) とする.次の各問に答えよ.

(1)  c の値によらず, p+q が一定であることを示せ.

(2)  c が正の数全体を動くとき,点 P の軌跡を求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(1)  500 円硬貨 1 枚と 100 円硬貨 3 枚を同時に投げ,表が 3 枚以上出たら,その表の出た硬貨を全部もらえるゲームがある. 1 回のゲームで,受け取る金額の期待値を求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(2)  x y についての連立方程式 { 3x +5y =-p x 4 x+9 y=p y が, x=0 y=0 以外の解をもつような定数 p の値をすべて求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(3) 次の関数を微分せよ.ただし,対数は自然対数であり, e は自然対数の底である.

(ⅰ)  y= e3 x1 +x2 (ⅱ)  y=tan x (ⅲ)  y=log 1-sin x1+ sinx

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(4) 次の定積分を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.



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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(5) 次の極限値を求めよ.

limn 1+2+ 3++ n1+ 5+9+ +( 4n- 3)

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(6)  4 A ( 1,-2 ,0) B ( 5,1, 0) C ( -1,0 ,0) D ( 2,0, 4) を頂点とする四面体 ABCD の体積を求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(7)  3 3-3 の整数部分を a 小数部分を b とするとき, a2 -b2 -a-b の値を求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(8) 連立不等式 x -y-3 0 3 x-y +60 x+2 y-12 0 が表す領域を D とする.点 ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, x2 +y2 +8x -2y の最大値を求めよ.

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工学部

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【2】  a を実数の定数とする. 2 つの関数 f (x )= x2- (a- 2) x+2 g (x )=- x2+ 2x+ a-2 について,以下の各問に答えよ.

(1) すべての実数 x に対して, f( x)> g( x) が成り立つような a の値の範囲を求めよ.

(2) すべての実数 x1 x2 に対して, f( x1) >g( x2 ) が成り立つような a の値の範囲を求めよ.

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