2012　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

$f(t)={\displaystyle \frac{\log (1+t^p)}{p}}-{\displaystyle \frac{\log (1+t^q)}{q}}\text{（}t\geqq 0\text{）}$

次の各問に答えよ．

(1)　$f(0)$と$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$の値を求めよ．

(2)　$f(t)$の導関数$f^{\prime }(t)$を求めよ．

(3)　$f(t)$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　次の不等式を証明せよ．

${(1+t^q)}^{\frac{1}{q}}\leqq {(1+t^p)}^{\frac{1}{p}}\leqq 2^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}{(1+t^q)}^{\frac{1}{q}}\text{（}t\geqq 0\text{）}$

(1)　関数$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$

また，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　次の(ア)，(イ)，(ウ)の$3$つの場合に$\overrightarrow{q}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

• (ア)　$\mathrm{P}=\mathrm{A}$，
• (イ)　$\mathrm{P}=\mathrm{B}$，
• (ウ)　$\mathrm{P}=\mathrm{C}$

(2)　点$\mathrm{P}$が$t$を媒介変数とするベクトル方程式

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$

を満たすとする．$t$が$0$から$1$まで変化するとき，点$\mathrm{P}$はどのような図形を描くか説明せよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{ABC}$の周上を$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{A}$の順に$1$周するとき，点$\mathrm{Q}$はどのような図形を描くか説明せよ．