2012　筑波大学　後期理工学群小論文MathJax

【１】　関数$f(x)=e^{-x}\sin x$について考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を計算せよ．

(2)　ある定数$A\text{，}B$を使って$f^{\prime }(x)=Af(x+B)$と表すことができる．$A\text{，}B$を求めよ．ただし，$A>0\text{，}0\leqq B<2\pi$とする．

(3)　$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$を計算せよ．

(4)　$f(x)$の極小値を与える$x$のうち$x\geqq 0$のものを小さい方から順に$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}\cdots$とする．$p_n$を求めよ．

(5)　不定積分$I={\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin xdx$および$J={\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos xdx$を求めよ．

【２】　座標平面の

$y=e^{a(x+a)}\text{（}a\ne 0\text{）}$

によって表される曲線について以下の問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$を通る接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　この曲線と接線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　(2)で考えた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

(4)　$V$を最小にする$a$の値とそのときの$V$の値を求めよ．

【３】　赤と白の玉が多数入っている袋から無作為に玉を$1$つ取り出し元に戻す試行を繰返す．初めて連続して赤玉が現れるのが$n-1$回目と$n$回目である確率を$Q_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$として，$Q_n$の漸化式を求めたい．$1$回の試行で赤玉が取り出される確率を$p$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$Q_2\text{，}{Q}_3\text{，}{Q}_4$を求めよ．

ここで，確率$w_n\text{，}{r}_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$を次のように定義する．

(2)　$w_3\text{，}{r}_4\text{，}{Q}_5$を求めよ．

(3)　$Q_n$を$p$と$r_{n-1}$を用いて表せ．

(4)　$r_{n+1}$を$p\text{，}{r}_n\text{，}{w}_n$のうち必要なものを用いて表せ．（赤玉が連続して現れないためには，$n+1$回目が赤玉の場合は$n$回目は白玉でなければならないことに注意せよ．）

(5)　$w_{n+1}$を$p\text{，}{r}_n\text{，}{w}_n$のうち必要なものを用いて表せ．（赤玉が連続して現れないためには，$n+1$回目が白玉の場合は$n$回目は赤玉でも白玉でもかまわないことに注意せよ．）

(6)　(4)，(5)から$r_n$を消去して$w_n$の漸化式を求めよ．

(7)　$Q_n$の漸化式を求めよ．