2012　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$a\text{，}b$に対し不等式

$a^2+ab+b^2\geqq {\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　条件

$a^2+ab+b^2=3\text{，}a\geqq |b|$

をみたす整数の組$\{a,b)$をすべて求めよ．

(3)　条件

$a^2+ab+b^2=7\text{，}a\geqq |b|$

をみたす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【２】　$xyz$空間の点$\mathrm{A}(2,0,-1)$と$\mathrm{B}(0,2,1)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$z$軸のまわりに回転して得られる曲面を$S$で表す．

(1)　$-1\leqq t\leqq 1$を満たす$t$に対して，平面$z=t$による$S$の切り口の方程式を求めよ．

(2)　平面$x=0$による$S$の切り口の方程式を求めよ．

(3)　$S$と二つの平面$z=-1\text{，}z=1$で囲まれる立体の体積を求めよ．

【３】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

について次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}AB\text{，}BA\text{，}{B}^2$を計算せよ．

(2)　$A\text{，}B$から重複を許していくつか選んで積（例えば$A\text{，}AB{A}^2\text{，}{B}^5{A}^{3}B{A}^2$など）を作る．このようにして得られる行列は次のいずれかの形であることを示せ．

$\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 0\end{array}\right)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$．