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2012 筑波大学 推薦理工学群

応用理工学類

易□ 並□ 難□

2012年推薦理工学群応用理工学類【問題1 問1】の図

【問題2 問1】 原点を O とする空間内の 3 A ( 1,0, 0) B ( 0,1, 0) C ( 0,0, 1) を頂点とする図のような三角形(の板) ABC を考える.この三角板を z 軸のまわりに 1 回転したとき,それが通過してできる回転体の体積を求めたい.以下の問いに答えよ.

(1)  0<k <1 として,平面 z =k と直線 CO CA CB との交点をそれぞれ P Q R とする.さらに, P から線分 QR に下ろした垂線の足を S とする.線分 PQ および線分 PS の長さを k を用いて表せ.

(2) 線分 QR z 軸のまわりに 1 回転したときに,平面 z =k 上で線分 QR が通過してできる図形を図示し,その面積を k を用いて表せ.

(3) (2)で求めた面積を k について 0 から 1 の範囲で積分することにより,求めるべき体積を計算せよ.



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【問題2 問2】 楕円 x2a 2+ y 2b2 =1 a>0 b> 0 の周上の点 P (第 1 象限にとる.)における接線を l とする. l x 軸, y 軸により囲まれる領域の面積 S を最小にしたい. P ( acos t,b sint ) と表す.ただし, 0<t <1 2 π とする.以下の問いに答えよ.

(1)  l の傾きを t を用いて表せ.

(2)  l の方程式を求めよ.

(3)  l x 切片および y 切片を求め, S t を用いて表せ.

(4)  S を最小にする t を求めよ. S の最小値も求めよ.

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【問題3 問1】 座標平面上の任意の点に対し,その原点 O からの距離を変えない移動を表す行列を A =( ab cd ) とする.この行列 A について以下の問いに答えよ.

(1) 点 P が点 P に移るものとして,任意の P に対して OP =OP となるために a b c d が満たすべき条件を求めよ.ここで, OP OP はそれぞれ O から P P までの距離である.

(2) (1)の結果を用いて, ( ac bd ) A の逆行列であることを示せ.

(3)  a2 +b2 =1 a c+b d=0 c2 +d2 =1 であることを示せ.

(4) (1)の結果を用いて, Δ=a d-b c=± 1 であることを示せ.

(5)  A のうち ( 1,1 ) 成分が 13 であるのものをすべて挙げよ.

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【問題3 問2】 「 X 」または「 Y 」のどちらかの記号が書かれているカードの束の中から無作為に 1 枚カードを引く.そのカードに書かれている記号に応じて x y 平面上に置かれた駒(こま)を動かしていく.引いたカードの記号が「 X 」のときには x 軸の正方向に 1 だけ,「 Y 」のときには y 軸の正方向に 1 だけ駒を進める.「 X 」のカードを引く確率は p である.引いたカードは束に戻すことにしており,この p は常に一定である.

 最初に駒は x y 平面上の ( 0,0 ) に置いてあったものとして,この操作を 18 回繰り返した後の駒の位置について以下の問いに答えよ.ただし,階乗はそのままの形で残しておいてよい.

(1) 駒が ( 12,6 ) にある確率を求めよ.

(2)  (6 ,2) を経由して ( 12,6 ) に到達する確率を求めよ.

(3)  (6 ,2 ) を経由しないで ( 12,6 ) に到達する確率を求めよ.

(4) 束は 10 枚のカードからなるものとする.「 X 」のカードが何枚入っているときに ( 12,6 ) に到達する確率が最も高くなるか.

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