2012　筑波大学　第２学期推薦理工学群応用理工学類医学類MathJax

【問題１】　次の問に答えよ．導出過程も示せ．

問１　$\{\begin{array}{l}x=\theta \cos \theta \\ y=\theta \sin \theta \end{array}$で表される曲線$C$について次の問いに答えなさい．

(1)　原点から$C$上の点$(\theta \cos \theta ,\theta \sin \theta )$までの距離$r(\theta )$を求めよ．

(2)　$\theta =0$における傾きを求めよ．

(3)　$C$のうち$0\leqq \theta \leqq 4\pi$の部分の概形を図示せよ．

(4)　$C$のうち${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}\leqq \theta \leqq 3\pi$の部分，$x$軸，$y$軸で囲まれる領域の面積を求めよ．

【問題１】　次の問に答えよ．導出過程も示せ．

問２　平行四辺形の面積について次の問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}(0,0)$と点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)\text{，}\mathrm{R}(x_3,y_3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{OPQR}$の面積は，$|x_1{y}_3-x_3{y}_1|$で与えられることを示せ．

(2)　原点$\mathrm{O}(0,0)$と点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が$\overline{\mathrm{OC}}=x\overline{\mathrm{OA}}+y\overline{\mathrm{OB}}$の関係にある．このとき，$\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$を隣接する$2$辺とする平行四辺形の面積$S_X$と$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$を隣接する$2$辺とする平行四辺形の面積$S$の関係を求めよ．

【問題１】　次の問に答えよ．導出過程も示せ．

問３　次の連立不等式で表される図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}\leqq 1\\ 1\leqq x\leqq \sqrt{3}\end{array}$