2012　筑波大学　第２学期推薦理工学群工学システム学類MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$および$g(x)=\log (x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=g(f(x))$の傾きを調べ，増減表を示せ．

(2)　実数定数$a$が与えられたとき，曲線$y=f^{\prime }(x)$は直線$y=a$との交点を必ず持つことを証明せよ．

(3)　$x$の値が$0$から$1$まで変化するとき，曲線$y=f(x)$の長さを求めよ．

【２】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)\text{，}B={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& \sqrt{2}\end{array}\right)\text{，}C={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ 1& \sqrt{3}\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　行列${(A^{-1}BCB{A}^{-1})}^5$を求め，さらにその行列式と逆行列を求めよ．

(2)　座標平面上の点$\mathrm{P}(\sqrt{3},1)$を点${\mathrm{P}}^{\prime }(-\sqrt{2},\sqrt{2})$に移す行列を$A\text{，}B\text{，}C$のみを用いて表せ．