2012　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚のカードがある．次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数で$n\geqq 5$とする．

問１　$n=5$とする．$5$枚のカードから同時に$2$枚を取り出すとき，取り出した番号の和の期待値を求めよ．

問２　$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$k$枚を取り出すとき，取り出した番号の積が偶数である確率を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$2\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}$とする．

問３　$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$3$枚を取り出すとき，取り出した番号の和が偶数である確率を求めよ．

【２】　自然数を$2$乗した列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．以下の問いに答えよ．

$\begin{array}{cccc}\{1\},& \{4,9,16\},& \{25,36,49,64,81\},& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& \text{第}2\text{群}& \text{第}3\text{群}& \end{array}$

問１　$625$は第何群の何番目の数か．

問２　第$n$群の最後の数を$n$の式で表せ．

問３　第$n$群の最初の数を$n$の式で表せ．

問４　第$n$群にあるすべての数の和を$n$の式で表せ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$と，線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{D}$が与えられている．実数$x\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$に対し，線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{CQ}=x$となるように定めるとき，次の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

問２　三角形$\mathrm{DPQ}$の面積$S$を$x$の式で表せ．

問３　問２の$S$について，$S$の最大値と最小値を求めよ．

問４　問２の$S$の値が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}$となるとき，$x$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3-3x^2+2$について，次の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．

問２　$-{\displaystyle \frac{a}{2}}\leqq x\leqq a$における$f(x)$の最大値$M$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．

問３　$-{\displaystyle \frac{a}{2}}\leqq x\leqq a$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．

【５】　$A^2=O$を満たす行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$O$は零行列とする．

問１　$c\ne 0$のとき，$b$を$a$と$c$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{c=}0$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．

問３　$c=0$のとき，$X_1=E\text{，}{X}_{n+1}=A{X}_n+B\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$と定める．$n\geqq 3$のとき

$X_1+X_2+\cdots +X_n$

を求めよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$である．

【６】　関数$y=e^{-x}$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,e^{-t})$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}(u,0)$とする．$C$上の点$(u,e^{-u})$を$\mathrm{R}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$u$を$t$の式で表せ．

問２　線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた部分を図形$A$とする．図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$t$の式で表せ．

問３　問１の$u$を$t$の関数とみて$u(t)$と表す．数列$\{t_n\}$を$t_1=0\text{，}{t}_{n+1}=u(t_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$と定義するとき，一般項$t_n$を求めよ．

問４　問２の$V$を$t$の関数とみて$V(t)$と表し，問３の$t_n$を用いて$V_n=V(t_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{V_n\}$は等比数列であることを示し，無限等比級数

$V_1+V_2+\cdots +V_n+\cdots$

の収束，発散を調べ，収束する場合は，その和を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育学部　【１】，【２】，【３】，【４】

工学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

農学部　【１】，【２】，【３】，【４】，【６】