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2012 群馬大学 前期

教育(数学・技術),工学部

医学部【1】の類題

易□ 並□ 難□

【1】  a は定数で, 0<a <e a 1 とする. 2 曲線 y =ax y= ex と直線 y =a で囲まれた図形の面積を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.

2012 群馬大学 前期

教育(数学・技術),工学部

社会情報学部【2】,医学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  A を一辺が 1 の立方体の積み木とし, B を縦が 1 横が 1 高さが 2 の直方体の積み木とする. A B は十分たくさんあるとして,これらを積み上げて高さ n の塔(縦が 1 横が 1 高さが n の直方体,ただし n は自然数とする)を作るとき,積み上げ方の場合の数を a n とする.以下の問いに答えよ.

(1)  a1 a2 a3 の値を求めよ.

(2) 高さ n の塔を作るとき, B をちょうど k (ただし 0 k n 2 ) 使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ.

(3)  a11 の値を求めよ.

(4) 使える積み木は A 9 個まで, B 4 個までとしたとき,高さ 11 の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ.

2012 群馬大学 前期

教育(数学・技術),工学部

社会情報学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を原点とする座標平面上の点 A ( 2,0 ) と点 P0 ( -1,0 ) をとる.点 P0 を通り,ベクトル d= (3, 3 ) に平行な直線を l とする. l 上の点の列

P 1 P2 Pn

を, n=1 2 について,直線 OP n と直線 AP n-1 とが垂直であるようにとる.また t n OPn =OP 0 +tn d を満たす実数とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)  t1 の値を求めよ.

(2) 数列 { tn } の漸化式を求めよ.

(3) 点 Pn x 座標が 3367 となるときの n の値を求めよ.

2012 群馬大学 前期

教育(数学・技術),社会情報,工,医学部

易□ 並□ 難□

【4】 曲線 y =1 2 (x 2-1 ) C とする. a は定数で a >0 とし,点 A (a , 12 ( a2- 1) ) における C の接線を l とする.また l と直線 x =a とのなす角を θ (0 <θ< π 2 ) とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1) 接線 l の方程式を求めよ.

(2)  tanθ a を用いて表せ.

(3) 点 A を通る直線で, l となす角が θ であるが,直線 x =a とは異なるものの方程式を求めよ.

2012 群馬大学 前期

教育(数学・技術)学部

医学部【5】の類題

易□ 並□ 難□

【5】  A=( 3 -1 1 3 ) B=( 0 -2 20 ) とする.

(1)  A12 を求めよ.

(2)  Ak Bl ( 1 0) =( 29 -m 0 ) を満たす自然数の組 ( k,l, m) をすべて求めよ.

2012 群馬大学 前期

教育(自然・情報系)学部

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )= x3+ ax 2+b x のグラフが点 ( p,q) p 0 に関して点対称であるとする.

(1)  a b p q を用いて表せ.

(2) 関数 g (x )= |f (x ) | のグラフが直線 x =2 に関して線対称であるとする. a b の値を求めよ.

2012 群馬大学 前期

教育(自然・情報系)学部

易□ 並□ 難□

【2】(1) 関数 f ( x) f (x )=3 x2 +x 01 f (t) dt+ 1 を満たしている.このとき f (x ) を求めよ.

(2) 関数 g (x ) は,ある定数 k に対して, 1x (3 t+1) g( t) dt=4 kx g( t) dt+5 x3 -3x 2-9 x-17 を満し, g (1) =8 である.このとき g (x ) k の値を求めよ.

2012 群馬大学 前期

社会情報学部

易□ 並□ 難□

【1】  x y >0 のとき,

{ 4x =2y +1 log1 3 1xy =1

を同時に満たす x y を求めよ.

2012 群馬大学 前期

社会情報学部

教育(数学・技術),工学部【2】,医学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  A を一辺が 1 の立方体の積み木とし, B を縦が 1 横が 1 高さが 2 の直方体の積み木とする. A B は十分たくさんあるとして,これらを積み上げて高さ n の塔(縦が 1 横が 1 高さが n の直方体,ただし n は自然数とする)を作るとき,積み上げ方の場合の数を a n とする.以下の問いに答えよ.

(1)  a1 a2 a3 の値を求めよ.

(2) 高さ n の塔を作るとき, B をちょうど k (ただし 0 k n 2 ) 使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ.

(3)  a11 の値を求めよ.

2012 群馬大学 前期

社会情報学部

教育(数学・技術),工学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を原点とする座標平面上の点 A ( 2,0 ) と点 P0 ( -1,0 ) をとる.点 P0 を通り,ベクトル d= (3, 3 ) に平行な直線を l とする. l 上の点の列

P 1 P2 Pn

を, n=1 2 について,直線 OP n と直線 AP n-1 とが垂直であるようにとる.また t n OPn =OP 0 +tn d を満たす実数とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)  t1 の値を求めよ.

(2) 数列 { tn } の漸化式を求めよ.

(3)  t2 t3 t 4 の値を求めよ.

2012 群馬大学 前期

社会情報学部

易□ 並□ 難□

【5】  a は定数で a <3 とし, f( x)= x2- 2a x+4 a g (x )=- x2+ 6x- 2a とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)  2 曲線 y =f( x) y =g( x) の交点の x 座標を求めよ.

(2)  2 曲線 y =f( x) y=g (x ) で囲まれた図形の面積が 9 となるときの a の値を求めよ.

2012 群馬大学 前期

工I(応化生物・環境プロセス)学部

易□ 並□ 難□

【5】  p>0 は定数とし, f( x)= x3- px とする. f( x) x =a で極小値 m を, x=b で極大値 M をとるとする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)  a b m M をそれぞれ p を用いて表せ.

(2) 直線 y =m および y =M と曲線 y =f( x) との ( a,m ) (b ,M) 以外での交点をそれぞれ ( c,m ) ( d,M ) とする.このとき c d をそれぞれ p を用いて表せ.

2012 群馬大学 前期

工II(機械・生産・社会環境・電気電子・情報)学部

易□ 並□ 難□

【5】  a b は実数で, b>0 とする.また A =( a-b b a) B= (- 1 2 - 32 32 - 12 ) とし, A2 =-E E 2 次単位行列)が成り立つとする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)  a b の値を求めよ.

(2) 行列の和 A +A2 +A3 + +A15 +A16 +A17 を求めよ.

(3) 行列の和 A17+ A16 B+ A15 B2+ +A 2B 15+A B16+ B17 を求めよ.

2012 群馬大学 前期

医学部

教育(数学・技術),工学部【1】の類題

易□ 並□ 難□

【1】  a は定数で, 0<a <2 a 1 とする. 2 曲線 y =ax y= 2x と直線 y =a で囲まれた図形の面積を求めよ.

2012 群馬大学 前期

医学部

教育(数学・技術),工【2】,社会情報学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  n を自然数とし,縦が 3 横が 2 n の長方形の盤上全体を,隣り合う 2 辺の長さが 1 2 の長方形のタイルですき間なく敷きつめるとき,その敷きつめ方の場合の数を a n とする.そのうち左端に 3 つのタイルが接している場合の数を x n とし,それ以外の敷き詰め方の場合の数を y n とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)  a1 a2 の値を求めよ.

(2)  an xn +1 y n+1 xn y n を用いて表せ.

(3)  an+ 2 an+1 a n を用いて表し,さらに a 4 の値を求めよ.

2012 群馬大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【3】  a 0 でない定数とする.座標平面上の 3 A ( a+2, a+1 ) B (9 ,0) C ( 2,1 ) について,線分 AB と線分 AC が垂直のとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a の値を求めよ.

(2) 自然数 n について,線分 AB n :n+4 に内分する点を Pn 線分 BC 3 :n に内分する点を Qn 線分 CA n :1 に内分する点を Rn とする. P nQ nR n の面積を S n とするとき, Sn n を用いて表せ.

(3)  Tm = n= 1m Snn とするとき, limm Tm を求めよ.

2012 群馬大学 前期

医学部

教育(数学・技術)学部【5】の類題

易□ 並□ 難□

【5】  A=( 3 -1 1 3 ) B=( 2 -2 2 2 ) とする. ( 10 ) Ak Bl ( 1 0) =29 -m を満たす自然数の組 ( k,l, m) をすべて求めよ.

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