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2012-10201-0101
2012 群馬大学 前期
教育(数学・技術),工学部
医学部【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 a は定数で, 0<a <e ,a ≠1 とする. 2 曲線 y =ax , y= ex と直線 y =a で囲まれた図形の面積を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.
2012-10201-0102
社会情報学部【2】,医学部【2】の類題
【2】 A を一辺が 1 の立方体の積み木とし, B を縦が 1 , 横が 1 , 高さが 2 の直方体の積み木とする. A , B は十分たくさんあるとして,これらを積み上げて高さ n の塔(縦が 1 , 横が 1 , 高さが n の直方体,ただし n は自然数とする)を作るとき,積み上げ方の場合の数を a n とする.以下の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 , a3 の値を求めよ.
(2) 高さ n の塔を作るとき, B をちょうど k 個 (ただし 0 ≦k≦ n 2 ) 使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ.
(3) a11 の値を求めよ.
(4) 使える積み木は A が 9 個まで, B が 4 個までとしたとき,高さ 11 の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ.
2012-10201-0103
社会情報学部【3】の類題
【3】 点 O を原点とする座標平面上の点 A ( 2,0 ) と点 P0 ( -1,0 ) をとる.点 P0 を通り,ベクトル d→= (3, 3 ) に平行な直線を l とする. l 上の点の列
P 1 , P2 , ⋯ , Pn , ⋯
を, n=1 , 2 ,⋯ について,直線 OP n と直線 AP n-1 とが垂直であるようにとる.また t n を OPn→ =OP 0→ +tn ⁢d→ を満たす実数とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) t1 の値を求めよ.
(2) 数列 { tn } の漸化式を求めよ.
(3) 点 Pn の x 座標が 3367 となるときの n の値を求めよ.
2012-10201-0104
教育(数学・技術),社会情報,工,医学部
【4】 曲線 y =1 2⁢ (x 2-1 ) を C とする. a は定数で a >0 とし,点 A (a , 12⁢ ( a2- 1) ) における C の接線を l とする.また l と直線 x =a とのなす角を θ (0 <θ< π 2 ) とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 接線 l の方程式を求めよ.
(2) tan⁡θ を a を用いて表せ.
(3) 点 A を通る直線で, l となす角が θ であるが,直線 x =a とは異なるものの方程式を求めよ.
2012-10201-0105
教育(数学・技術)学部
医学部【5】の類題
【5】 A=( 3 -1 1 3 ), B=( 0 -2 20 ) とする.
(1) A12 を求めよ.
(2) Ak ⁢Bl ⁢( 1 0) =( 29 -m 0 ) を満たす自然数の組 ( k,l, m) をすべて求めよ.
2012-10201-0106
教育(自然・情報系)学部
【1】 関数 f ⁡(x )= x3+ a⁢x 2+b ⁢x のグラフが点 ( p,q) ,( p≠ 0 ) に関して点対称であるとする.
(1) a ,b を p , q を用いて表せ.
(2) 関数 g ⁡(x )= |f⁡ (x ) | のグラフが直線 x =2 に関して線対称であるとする. a ,b の値を求めよ.
2012-10201-0107
【2】(1) 関数 f ⁡( x) は f ⁡(x )=3 ⁢x2 +x⁢ ∫01 f⁡ (t) ⁢dt+ 1 を満たしている.このとき f ⁡(x ) を求めよ.
(2) 関数 g ⁡(x ) は,ある定数 k に対して, ∫ 1x (3⁢ t+1) ⁢g⁡( t)⁢ dt=4 ⁢ ∫kx g⁡( t)⁢ dt+5 ⁢x3 -3⁢x 2-9⁢ x-17 を満し, g⁡ (1) =8 である.このとき g ⁡(x ) と k の値を求めよ.
2012-10201-0108
社会情報学部
【1】 x ,y >0 のとき,
{ 4x =2y +1 log1 3⁡ 1x⁢y =1
を同時に満たす x , y を求めよ.
2012-10201-0109
教育(数学・技術),工学部【2】,医学部【2】の類題
2012-10201-0110
教育(数学・技術),工学部【3】の類題
(3) t2 , t3 ,t 4 の値を求めよ.
2012-10201-0111
【5】 a は定数で a <3 とし, f⁡( x)= x2- 2⁢a⁢ x+4⁢ a ,g ⁡(x )=- x2+ 6⁢x- 2⁢a とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 2 曲線 y =f⁡( x) と y =g⁡( x) の交点の x 座標を求めよ.
(2) 2 曲線 y =f⁡( x) と y=g ⁡(x ) で囲まれた図形の面積が 9 となるときの a の値を求めよ.
2012-10201-0112
工I(応化生物・環境プロセス)学部
【5】 p>0 は定数とし, f⁡( x)= x3- p⁢x とする. f⁡( x) は x =a で極小値 m を, x=b で極大値 M をとるとする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) a ,b , m ,M をそれぞれ p を用いて表せ.
(2) 直線 y =m および y =M と曲線 y =f⁡( x) との ( a,m ), (b ,M) 以外での交点をそれぞれ ( c,m ) ,( d,M ) とする.このとき c , d をそれぞれ p を用いて表せ.
2012-10201-0113
工II(機械・生産・社会環境・電気電子・情報)学部
【5】 a ,b は実数で, b>0 とする.また A =( a-b b a) ,B= (- 1 2 - 32 32 - 12 ) とし, A2 =-E ( E は 2 次単位行列)が成り立つとする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) a ,b の値を求めよ.
(2) 行列の和 A +A2 +A3 +⋯ +A15 +A16 +A17 を求めよ.
(3) 行列の和 A17+ A16⁢ B+ A15⁢ B2+ ⋯+A 2⁢B 15+A⁢ B16+ B17 を求めよ.
2012-10201-0114
医学部
教育(数学・技術),工学部【1】の類題
【1】 a は定数で, 0<a <2 ,a ≠1 とする. 2 曲線 y =ax , y= 2x と直線 y =a で囲まれた図形の面積を求めよ.
2012-10201-0115
教育(数学・技術),工【2】,社会情報学部【2】の類題
【2】 n を自然数とし,縦が 3 , 横が 2 ⁢n の長方形の盤上全体を,隣り合う 2 辺の長さが 1 と 2 の長方形のタイルですき間なく敷きつめるとき,その敷きつめ方の場合の数を a n とする.そのうち左端に 3 つのタイルが接している場合の数を x n とし,それ以外の敷き詰め方の場合の数を y n とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 の値を求めよ.
(2) an , xn +1 ,y n+1 を xn ,y n を用いて表せ.
(3) an+ 2 を an+1 ,a n を用いて表し,さらに a 4 の値を求めよ.
2012-10201-0116
【3】 a は 0 でない定数とする.座標平面上の 3 点 A ( a+2, a+1 ), B (9 ,0) ,C ( 2,1 ) について,線分 AB と線分 AC が垂直のとき,以下の問いに答えよ.
(1) a の値を求めよ.
(2) 自然数 n について,線分 AB を n :n+4 に内分する点を Pn , 線分 BC を 3 :n に内分する点を Qn , 線分 CA を n :1 に内分する点を Rn とする. ▵P nQ nR n の面積を S n とするとき, Sn を n を用いて表せ.
(3) Tm = ∑n= 1m Snn とするとき, limm →∞ Tm を求めよ.
2012-10201-0117
教育(数学・技術)学部【5】の類題
【5】 A=( 3 -1 1 3 ), B=( 2 -2 2 2 ) とする. ( 10 ) ⁢Ak ⁢Bl ⁢( 1 0) =29 -m を満たす自然数の組 ( k,l, m) をすべて求めよ.