2012 埼玉大学 前期(経済,教育学部)

Mathematics

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2012 埼玉大学 前期

経済,教育(学校教育・

教科教育コース(数学専修))学部

易□ 並□ 難□

【1】 座表平面上の点 P (x ,y) の座標の値 x y がともに整数であるとき,点 P を平面上の格子点と呼ぶ.このとき下記の設問に答えなさい.

(1) 不等式 | x| +| y| <3 の表す領域 A を図示しなさい.また,領域 A 内の格子点の個数を求めなさい.

(2) 不等式 x 2+y 22 の表す領域 B を図示しなさい.また,領域 B 内の格子点の個数を求めなさい.

(3)  2 つの不等式 x 2+y 22 y2 a2 の表す領域を C とする.領域 A 内の格子点全体から領域 B 内のすべての格子点を除いた集合を D とする.領域 C と集合 D との共通部分が空集合となる a の条件を求めなさい.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面内の曲線 y= x2 上の 2 P1 ( x1, y1 ) P 2( x2, y2 ) を両端にもつ長さ r >0 の線分 P1 P2 の中点を C (s ,t) とする.また a =x1 -x2 b= x1+ x2 とおく.このとき下記の設問に答えなさい.

(1)  r2 a b を用いて表しなさい.

(2) 線分 P1 P2 の中点 C y 座標 t b r を用いて表しなさい.

(3)  0<r< 1 とする.このとき t b= 0 のとき最小値 r24 をとることを示しなさい.

(4)  r1 の場合, t の最小値を r を用いて表しなさい.

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易□ 並□ 難□

【3】 正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれ A B C とし,頂点 A 上に碁石が置かれているとする.さいころを何回か投げ,以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える.

[R] さいころの目が 3 の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し, 3 の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる.

このとき下記の設問に答えなさい.

(1) さいころを 3 回投げたとき,碁石が頂点 A B C 上にある確率をそれぞれ求めなさい.

(2) さいころを n 回投げたとき,碁石が頂点 A B C 上にある確率をそれぞれ p q r とする.さらに続けて 4 回投げたとき,碁石が頂点 A B C 上にある確率をそれぞれ求めなさい.

(3) さいころを 100 回投げたとき,碁石が置かれている確率の最も高い頂点は A B C のうちのどれか求めなさい.

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易□ 並□ 難□

【4】 下記の設問に答えなさい.

(1)  a を定数とする.次の関数 f (x ) の導関数 f (x ) を求めなさい.

f( x)= ax (t2 +a2 t) dt+ 0a (t2 +at )dt

(2) 次の関係式を満たす定数 a および関数 g (x ) を求めなさい.

ax ( g( t)+ tg (a) )d t=x2 -2x -3