2012 埼玉大学 前期(理,工学部)

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2012 埼玉大学 前期

理(数学),工学部

易□ 並□ 難□

【1】 実数 t に対し, xy 平面において 2 つの位置ベクトル

OA= ( t2+1 , t2 ) OB = (t , t22 )

を考える.

(1) 次の条件を満たす t が存在する実数 s の範囲を求めよ.

「ベクトル AB は,ベクトル (1 ,s) に平行である」

(2) 次の条件を満たす t が存在する実数 s の範囲を求めよ.

「ベクトル AB は,ベクトル (1 ,s) に平行であり,かつ t >1 である.」

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理(数学),工学部

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A ( a 1b 2 ) とし, E O をそれぞれ 2 次の単位行列,零行列とする.

(1)  A2- 5A+ 4E= O を満たす実数 a b を求めよ.

(2)  n 2 以上の自然数とする. x n x 2-5 x+4 で割った余りを求めよ.

(3)  a b を(1)で求めた実数とする. 2 以上の自然数 n に対して, An を求めよ.

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理(数学)学部

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上に曲線 C: y=x2 -x と直線 l: y=x がある.

(1)  l 上の点 P ( t 2 , t 2 ) 0t 22 を通り, l と垂直な直線を m とする. m C との共有点のうち, x 座標が 0 以上のものを Q とする. Q の座標を求めよ.

(2)  0t 22 のとき,線分 PQ の長さの最大値とそのときの t を求めよ.

(3)  C l で囲まれた部分を l を軸として 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

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理(数学)学部

易□ 並□ 難□

【4】  n=1 2 3 に対し,

In= 0π4 tan 2n x dx

とおく.

(1)  In+ In+ 1 を計算せよ.

(2)  limn In= 0 を示せ.

(3)  n=1 (- 1) n 12n +1 を求めよ.

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工学部

易□ 並□ 難□

【3】  a>0 に対し,

f( a)= limt +0 t1 | ax+x logx | dx

とおく.次の問いに答えよ.必要ならば, limt +0 tn logt= 0 n =1 2 を用いてよい.

(1)  f( a) を求めよ.

(2)  a が正の実数全体を動くとき, f( a) の最小値とそのときの a の値を求めよ.

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工学部

易□ 並□ 難□

【4】  a>0 とし,関数

f( x)= e-a x sin( 3a x)

f (x) +f (x )+f (x) =0

を満たすとする.

(1)  a を求めよ.

(2)  x>0 において f (x ) が極大となる x を小さい方から x 1 x2 x3 とする. xn を求めよ.

(3) (2)で求めた x n に対し, n=1 f( xn ) を求めよ.