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2012-10221-0201
2012 埼玉大学 前期
理(数学),工学部
易□ 並□ 難□
【1】 実数 t に対し, xy 平面において 2 つの位置ベクトル
OA→= ( t2+1 , t2 ) ,OB →= (t , t22 )
を考える.
(1) 次の条件を満たす t が存在する実数 s の範囲を求めよ.
「ベクトル AB → は,ベクトル (1 ,s) に平行である」
(2) 次の条件を満たす t が存在する実数 s の範囲を求めよ.
「ベクトル AB → は,ベクトル (1 ,s) に平行であり,かつ t >1 である.」
2012-10221-0202
【2】 行列 A を ( a 1b 2 ) とし, E ,O をそれぞれ 2 次の単位行列,零行列とする.
(1) A2- 5⁢A+ 4⁢E= O を満たす実数 a , b を求めよ.
(2) n を 2 以上の自然数とする. x n を x 2-5⁢ x+4 で割った余りを求めよ.
(3) a ,b を(1)で求めた実数とする. 2 以上の自然数 n に対して, An を求めよ.
2012-10221-0203
理(数学)学部
【3】 xy 平面上に曲線 C: y=x2 -x と直線 l: y=x がある.
(1) l 上の点 P ( t 2 , t 2 ) ( 0≦t≦ 2⁢2 ) を通り, l と垂直な直線を m とする. m と C との共有点のうち, x 座標が 0 以上のものを Q とする. Q の座標を求めよ.
(2) 0≦t≦ 2⁢2 のとき,線分 PQ の長さの最大値とそのときの t を求めよ.
(3) C と l で囲まれた部分を l を軸として 1 回転してできる立体の体積を求めよ.
2012-10221-0204
【4】 n=1 ,2 ,3 ,⋯ に対し,
In= ∫ 0π4 ⁡tan 2⁢n ⁡x⁢ dx
とおく.
(1) In+ In+ 1 を計算せよ.
(2) limn→ ∞⁡ In= 0 を示せ.
(3) ∑ n=1 ∞⁡ (- 1) n⁢ 12⁢n +1 を求めよ.
2012-10221-0205
工学部
【3】 a>0 に対し,
f⁡( a)= limt→ +0⁡ ∫ t1 ⁡| a⁢x+x ⁢log⁡x | ⁢dx
とおく.次の問いに答えよ.必要ならば, limt→ +0⁡ tn⁢ log⁡t= 0 (n =1 ,2 ,⋯ ) を用いてよい.
(1) f⁡( a) を求めよ.
(2) a が正の実数全体を動くとき, f⁡( a) の最小値とそのときの a の値を求めよ.
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【4】 a>0 とし,関数
f⁡( x)= e-a ⁢x⁢ sin⁡( 3⁢a ⁢x)
は
f″⁡ (x) +f′ ⁡(x )+f⁡ (x) =0
を満たすとする.
(1) a を求めよ.
(2) x>0 において f⁡ (x ) が極大となる x を小さい方から x 1 ,x2 , x3 , ⋯ とする. xn を求めよ.
(3) (2)で求めた x n に対し, ∑ n=1 ∞⁡ f⁡( xn ) を求めよ.