2012　埼玉大学　後期　理，工学部MathJax

2012-10221-0301

2012　埼玉大学　後期

理，工学部

易□　並□　難□

【１】　 $t$ は $t ≧ 0 ， t \neq 1$ を満たす実数とし，行列 $A$ を

$A = (\begin{matrix} t^{2} + t + 1 & - t (t + 1) \\ t + 1 & - t \end{matrix})$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　行列 $P = (\begin{matrix} p & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ と $B = (\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ が等式 $A P = P B$ を満たすとする．ただし $p \neq 1$ とする．このとき $p ， b$ を $t$ を用いて表せ．

(2)　自然数 $n$ に対して， $A^{n}$ の $(2, 2)$ 成分を $f (t)$ とおく． $f (t)$ を求めよ．

(3)　 $\lim_{t \to 1} f (t)$ を求めよ．

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【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　 $\sum_{k = 1}^{n} 2^{k}$ を求めよ．

(2)　 $\sum_{k = 1}^{n} k 2^{k}$ を求めよ．

(3)　次の関係式を満たす数列 ${a_{n}}$ をすべて求めよ．

$\sum_{k = 1}^{n} k a_{k} = (n - 1) (\sum_{k = 1}^{n} a_{k} + 2) + 2 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

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【３】　 $x y$ 平面上の $2$ つの曲線 $C_{1} : y = a \cos x$ と $C_{2} : y = 2 \sin 2 x$ について以下の問いに答えよ．

(1)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ が $0 < x < \frac{π}{2}$ の範囲で共有点を持つような定数 $a$ の範囲を求めよ．

(2)　連立不等式

${\begin{cases} 0 ≦ x ≦ \frac{π}{2} \\ 0 ≦ y ≦ 2 \sin 2 x \end{cases}$

の表す領域を $D$ とする． $C_{1}$ が $D$ を面積の等しい $2$ つの部分に分けるように定数 $a$ を定めよ．

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【４】　 $a > 1$ とし， $x y$ 平面上の $2$ つの曲線 $y = e^{x}$ と $y = e^{a x}$ の共通接線の接点をそれぞれ $P (p, e^{p}) ， Q (q, e^{a q})$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $p ， q$ を $a$ を用いて表せ．

(2)　不等式 $p + q > 0$ が成り立つことを示せ．