2012　千葉大学　前期MathJax

2012-10241-0101

2012　千葉大学　前期

数学I・A

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を実数の定数とする．放物線 $y = x^{2} - a x + a$ が $x$ 軸の

$1 ≦ x ≦ 2$ または $3 ≦ x ≦ 4$

を満たす部分と $2$ つの異なる共有点を持つための $a$ の条件を求めよ．

2012-10241-0102

2012　千葉大学　前期

数学I・A

易□　並□　難□

【２】　 $AB = 5 ， BC = 7 ， CA = 8$ および $OA = OB = OC = t$ を満たす四面体 $OABC$ がある．

(1)　 $∠ BAC$ を求めよ．

(2)　 $▵ ABC$ の外接円の半径を求めよ．

(3)　 $4$ つの頂点 $O ， A ， B ， C$ が同一球面上にあるとき，その球の半径が最小になるような実数 $t$ の値を求めよ．

2012-10241-0103

2012　千葉大学　前期

数学I・A

【10】の類題

易□　並□　難□

【３】　さいころを $7$ 回投げ， $k$ 回目（ $1 ≦ k ≦ 7$ ）に出る目を $X_{k}$ とする．

(1)　積 $X_{1} X_{2}$ が $18$ 以下である確率を求めよ．

(2)　積 $X_{1} X_{2} \dots X_{7}$ が偶数である確率を求めよ．

(3)　積 $X_{1} X_{2} \dots X_{7}$ が $4$ の倍数である確率を求めよ．

(4)　積 $X_{1} X_{2} \dots X_{7}$ を $3$ で割ったときの余りが $1$ である確率を求めよ．

2012-10241-0104

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数学I・A

易□　並□　難□

【４】　 $p ， q$ を互いに素な $2$ 以上の整数， $m ， n$ は $m < n$ なる正の整数とする．このとき，分母が $p^{2} q^{2}$ で，分子が $p$ でも $q$ でも割り切れない分数のうち， $m$ よりも大きく $n$ よりも小さいものの総数を求めよ．

2012-10241-0105

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B

易□　並□　難□

【５】　放物線 $y = x^{2}$ 上の点 $(a, a^{2})$ における接線を $l_{a}$ とする．

(1)　直線 $l_{a}$ が不等式

$y > - x^{2} + 2 x - 5$

の表す領域に含まれるような $a$ の範囲を求めよ．

(2)　 $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき，直線 $l_{a}$ が通らない点 $(x, y)$ 全体の領域 $D$ を図示せよ．

(3)　連立不等式

${\begin{cases} (y - x^{2}) (y + x^{2} - 2 x + 5) ≦ 0 \\ y (y + 5) ≦ 0 \end{cases}$

の表す領域を $E$ とする． $D$ と $E$ の共通部分の面積を求めよ．

2012-10241-0106

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B

易□　並□　難□

【６】　 $1$ より小さい正の実数 $a$ に対して

円 $C (a) : {(x + a - 1)}^{2} + {(y + a - 1)}^{2} = 2 a^{2}$

と定める．その上で，数列 ${a_{n}}$ を以下の方法によって定める．

(ⅰ)　 $n = 1$ のときは，円 $C (a)$ が $x$ 軸と接するような定数 $a$ の値を $a_{1}$ とする．さらに，円 $C (a_{1})$ と $x$ 軸との接点を $P_{1}$ とし，円 $C (a_{1})$ の中心を $Q_{1}$ とおく．

(ⅱ)　 $n ≧ 2$ のときは，円 $C (a)$ が直線 $P_{n - 1} Q_{n - 1}$ と接するような定数 $a$ の値を $a_{n}$ とする．さらに，円 $C (a_{n})$ と直線 $P_{n - 1} Q_{n - 1}$ との接点を $P_{n}$ とし，円 $C (a_{n})$ の中心を $Q_{n}$ とおく．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a_{1}$ を求めよ．

(2)　 $a_{2}$ を求めよ．

(3)　 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

2012-10241-0107

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B

易□　並□　難□

【７】　横 $2 a ，$ 縦 $2 b$ の長方形を長方形の中心のまわりに角 $θ$ だけ回転させる．回転後の長方形ともとの長方形が重なり合う部分の面積 $S (θ)$ を求めよ．ただし，長方形の中心とはその $2$ つの対角線の交点とし，長方形はそれを含む平面内で回転するものとする．また，回転角 $θ$ は $0$ 以上，長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に取るものとする．

2012-10241-0108

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B

易□　並□　難□

【８】　すべての項が整数である数列を整数列という． $p ， q ， r ， s$ を実数とし，正の整数 $n$ に対し

$a_{n} = p + q n + r n^{2} ， b_{n} = p + q n + r n^{2} + s n^{3}$

とおく．このとき以下の命題を示せ．

(1)　数列 ${a_{n}}$ が整数列ならば， $2 r$ は整数である．

(2)　数列 ${b_{n}}$ が整数列であるための必要十分条件は， $p$ と $q + r + s$ と $2 r$ と $6 s$ がいずれも整数となることである．

2012-10241-0109

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B・III・C

易□　並□　難□

【９】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ は第 $2$ 次導関数 $f^{″} (x)$ が連続で，ある $a < b$ に対して， $f^{'} (a) = f^{'} (b) = 0$ を満たしているものとする．このとき

$f (b) - f (a) = \int_{a}^{b} (\frac{a + b}{2} - x) f^{″} (x) d x$

が成り立つことを示せ．

(2)　直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻 $0$ で発進後，距離 $L$ だけ離れた次の信号に時刻 $T$ で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が $\frac{4 L}{T^{2}}$ 以上である瞬間があることを示せ．

2012-10241-0110

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B・III・C

【３】の類題

易□　並□　難□

【10】　さいころを $n$ 回（ $n ≧ 2$ ）投げ， $k$ 回目（ $1 ≦ k ≦ n$ ）に出る目を $X_{k}$ とする．

(1)　積 $X_{1} X_{2}$ が $18$ 以下である確率を求めよ．

(2)　積 $X_{1} X_{2} \dots X_{n}$ が偶数である確率を求めよ．

(3)　積 $X_{1} X_{2} \dots X_{n}$ が $4$ の倍数である確率を求めよ．

(4)　積 $X_{1} X_{2} \dots X_{n}$ を $3$ で割ったときの余りが $1$ である確率を求めよ．

2012-10241-0111

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B・III・C

易□　並□　難□

【11】　 $x y$ 平面において，長さ $1$ の線分 $AB$ を点 $A$ が原点，点 $B$ が点 $(1, 0)$ に重なるように置く．点 $A$ を $y$ 軸に沿って点 $(0, 1)$ まで移動させ，線分 $AB$ の長さを $1$ に保ったまま点 $B$ を軸に沿って原点まで移動させる．このとき線分 $AB$ が通る領域を $D$ とする． $0 ≦ x ≦ 1$ となる実数 $x$ に対して，点 $(x, y)$ が領域 $D$ に含まれるような $y$ の最大値を $f (x)$ とする．

(1)　 $f (x)$ を $x$ の式で表せ．

(2)　領域 $D$ を $x$ 軸を中心に回転させた立体の体積 $V$ を求めよ．

2012-10241-0112

2012　千葉大学　前期

数学I・A・II・B・III・C

易□　並□　難□

【12】　 $l ， n ， d$ を自然数とする．このとき自然数の積 $(2 l + 1) n d$ は，ある自然数 $a$ と $2$ 以上の整数 $m$ を用いて

$(2 l + 1) n d = \sum_{i = 1}^{m} {a + (i - 1) d}$

と表せることを証明せよ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部（算数科選修，技術科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　文学部（行動科学科），教育学部（情報教育分野），法経学部，園芸学部，

　先進科学プログラム　物理化学分野・人間科学関連分野

　　【３】，【４】，【５】，【６】

教育学部（数学科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】，【６】

数学I数学II数学III数学A数学B数学C

理学部（物理，化学，生物，地球科学科），薬学部，

工学部，先進科学プログラム（物理，電気電子，ナノサイエンス，画像，情報画像）

　【３】，【５】，【６】，【７】，【９】

医学部【７】，【８】，【10】，【11】，【12】

理学部（数学・情報数理学科）　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】，【11】

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